Matematiksel Nesnelerin Temeli Üzerine Felsefi Kuramlar

 Matematiğin konusu nedir? Matematiğin uğraş konusu olan soyut nesnelerin kaynağı nedir? Sorularına verilen cevaplar matematik tarihi boyunca çeşitlilik arz etmiştir. Bununla birlikte verilen cevaplar üç ana felsefi görüş altında toplanabilir. Platonizm, Konstrüktivizm, Formalizm diğer adlarıyla Realizm, Yapımcılık(İnşacılık), Nominalizm. Platonizm, Konstrüktivizm ve Formalizmin çeşitli versiyonları arasında ince ayrımlar yapmayı gerekli görmüyoruz. Bu felsefi görüşlerin her birini birkaç cümleyle açıklamak yeterli olacaktır.

Platonistler matematiksel nesneleri, bizim kurduğumuz şeyler olarak değil ezeli ve ebedi olarak ideal ve zamandan bağımsız var olan şeyler olarak kabul ederler. Biz matematiksel nesneleri yaratmayız yalnızca zaten orada olanı keşfederiz. Matematikçilerin zihinlerince kavranmış ve kavranacak olan herhangi bir karmaşıklık derecesindeki sonsuzluklarda buna dâhildir. Realizm, soyut nesneleri somut nesneler gibi gerçekliğin bir parçası sayar. Platoncu realizmde sayı türünden soyut nesneler, olgusal dünya ile nedensel ilişkisi olmayan, varlığı düşüncemizden bağımsız yetkin “form” ya da “idea”lardır. Bunlara ilişkin bilgimiz algıdan değil, aklın daha önce “idealar dünyası” nda kazanmış olduğu deneyimden kaynaklanır. Örneğin,  sayısı Platonculara göre, “evrensel” bir nesne olarak sürgit var olmuştur. Matematikçinin onu bilmesi bir gözlem ya da araştırmanın sonucu değil, bir çağrışım, hatırlama ya da iç kavrayışın sonucudur.

 Platonculuktan ayrılan modern realizmde sayı, bir tür “gözlem”le doğada bulduğumuz, varlığı bizden bağımsız bir nesnedir. Ünlü Matematikçi ve Filozof Bertrand Russel realist döneminde bu görüşü açık bir dille ortaya koymuştur: “Aritmetik, kolomb’un Amerika’yı keşfi anlamında bir keşiftir. O nasıl Kızılderilileri yaratmadıysa, biz de sayıları yaratmış değiliz… Bir şey var olduğu için düşünülebilir; var olma düşünülmüş olmanın sonucu değil, ön-koşuludur” demektedir.

 Matematikte realizmi paylaşanlar arasında G. H. Hardy ve Kurt Gödel gibi seçkin matematikçiler de vardır. Hardy, Platon’dan günümüze değin pek çok ünlü filozofla paylaştığını söylediği görüşünü şöyle belirtmektedir: “Benim için ve sanırım çoğu matematikçiler için, ‘matematiksel gerçek’ diye tanımlayacağım başka bir gerçek vardır… Benim inancıma göre,  Matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; İspatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir.

Hardy gibi Gödel de matematiksel nesnelerin algılandığı savındadır: “Matematiksel sezgi türünden algılamayı duyusal algılamadan daha az güvenilir saymak için hiçbir neden görmüyorum… Küme kuramındaki paradoksların matematik için yarattığı sıkıntının duyumsal yanılgıların fizik için yarattığı sıkıntıdan daha fazla olduğu söylenemez. Matematiksel sezgi verilerini, duyu organlarımızla ulaştığımız nesnelere ilişkin değildir diye, Kant’ın ileri sürdüğü gibi, salt öznel saymak yanlıştır. Tam tersine bu verileri de nesnel dünyanın bir parçası sayabiliriz.”  

Konstrüktivistler doğal sayıları daha basit bir kavrama indirgenmesi gerekli ve mümkün olmayan ve bütün matematiksel kavramların kuruluşunda temel alınması gereken, matematiğin temel verisi olarak kabul ederler. Konstrüktivizm, birbirine tümüyle ters düşen realizm ile nominalizm arasında yer alan görüş. Konstrüktivizm açısından soyut nesneler ne realistlerin savundukları gibi bizden bağımsız, doğada( ya da ‘idealar’ dünyasında) var olan nesnelerdir; ne de nominalistlerin ileri sürdükleri gibi yalnızca birer isimden ibarettir. Soyut nesneler insan zekâsının çevre ile olan sürekli etkileşimi içinde oluşturduğu betimleyici ya da açıklayıcı kavramlardır.

 Tüm kavramlar gibi matematiksel kavramların da kökeni empirik yaşantımızdadır. Örneğin, sayı yaşantımıza giren çokluk ve büyüklükleri belirleme aracı olarak oluşturulmuştur. Doğada sayılar değil sayılabilen çokluklar vardır. Ölçmek ihtiyacı insanoğlunun nicel kavramlar oluşturmaya zorlamıştır. Nitekim sayılar, sayılabilen nesneler üzerinde yürütülen sayma işleminin bir ürünüdür.

Formalistler ise ne konstrüktivistlerin sınırlamalarını ne de Platoncu teolojiyi kabul eder. Formaliste göre tek mesele oyunun kurallarıdır. Yani bir formülü diğerine çevirmekte kullanılan çıkarsama kurallarıdır. Bu formüllerin sahip olduğu “herhangi” bir anlam, bu meselenin ötesine geçer ve “matematik-dışıdır”. Nominalizm, soyut nesneleri gerçeklikten yoksun birer isim ya da düpedüz sözcük sayan görüş. Nominalizm, Platoncu ontolojiye bir tepki olarak ortaya çıkmıştır. Nominalist için evren yalnızca tikel somut nesnelerden oluşmuştur; soyut ya da “evrensel” denen nesneler yoktur. Örneğin, 5 diye bir nesne yoktur; 5 parmak, 5 ev, 5 koyun vardır. Oysa realistin gözünde, sözünü ettiğimiz tikel somut nesneler “evrensel” 5’in gözlemlenen birer örneğidir.

Nominalizm, metafizikten kaçanlar için taşıdığı tüm çekiciliğe karşın yetersiz dahası yüzeysel bir öğreti olmaktan ileri geçmemiştir. Öyle ki, bu görüşe uyulursa, ne matematikte ne de empirik bilimlerde ilerlemeye olanak kalmaz; çünkü matematikte soyut nesnelerden, bilimde ise kuramsal nesnelerden söz etmeksizin ilerlemek şöyle dursun, konuşmak bile olanaksızdır.    

Oysa Platoncu ontolojiye düşme korkusu soyut nesneleri yadsımak için zorlayıcı bir neden olmamalıdır. Soyut nesneleri kavram olarak kullanmak Platoncu ontolojiye düşmeyi gerektirmediği gibi, empirist yaklaşıma da aykırı değildir.