MATEMATİK GERÇEĞİ YANSITIR MI? (I.BÖLÜM)

“Öznel düşüncemizin ve nesnel dünyanın aynı yasalara tâbi olduğu ve bu nedenle de son tahlilde birbirleriyle sonuçları bakımından çelişemeyeceği, tersine çakışmak zorunda olduğu fikri kesinlikle tüm teorik düşüncemize egemen durumdadır.” (Engels)

“Soyut” matematiğin içeriği eninde sonunda maddi dünyadan türetilir. Matematiğin doğrularının doğuştan gelen ya da vahiyle inen özel bir tür bilgi olduğu düşüncesi ciddi bir sınavdan geçemez. Matematik gerçek dünyanın nicel ilişkilerini inceler. Matematiğin aksiyomları denen şeyler bize apaçık şeyler olarak görünür, çünkü bunlar gerçekliğe ilişkin uzun bir gözlem ve gerçeklik hakkındaki deneyim döneminin ürünüdürler. Ne yazık ki bu olgu, kendi “saf” konularının kaba maddi varlıklar dünyasıyla hiçbir ilişkisinin olmadığı düşüncesine kapılan günümüzün birçok teorik matematikçisi tarafından unutulmuş görünüyor. Bu durum işbölümünün en uç noktalara kadar götürülmesinin olumsuz sonuçlarının bariz bir örneğidir.

Pythagoras’tan bu yana, bilimlerin kraliçesi, evrenin bütün kapılarını açan sihirli anahtar olarak tasvir edilen matematik adına en ölçüsüz iddialar ileri sürülmüştür. Matematik, fiziksel dünyayla bütün bağlantısını kopararak, kendi kurallarından başka hiçbir kurala tâbi olmayan tanrısal bir varlık kazandığı göklerde süzülüyordu. Bu yüzden büyük matematikçi Henri Poincaré bu yüzyılın başlarında, bilimin yasalarının gerçek dünyayla hiçbir şekilde ilişkili olmadığını, yalnızca ilgili olgunun daha uygun ve daha “yararlı” bir tanımını oluşturmaya mahsus keyfi teamülleri temsil ettiğini iddia edebilmişti. Bazı teorik fizikçiler bugün açıkça, kendi matematiksel modellerinin geçerliliğinin, deneysel olarak kanıtlanabilir olmalarına değil denklemlerinin estetik özelliklerine bağlı olduğunu ifade ediyorlar.

Matematik teorileri bir yandan muazzam bir bilimsel ilerlemenin kaynağı olmuşken, diğer yandan da son derece olumsuz sonuçlar barındırmış ve halen barındırmakta olan sayısız hataların ve yanlış anlamaların kökenini oluşturmuştur. Temel hata, doğanın karmaşık, dinamik ve çelişkili işleyişinin, statik, derli toplu nicel formüllere indirgenmeye çalışılmasıdır. Doğa, noktaların bir doğru, doğruların bir düzlem, düzlemlerin bir küp, bir küre vb. haline geldiği tek boyutlu bir nokta olarak biçimsel bir tarzda ifade edilir. Ne var ki “soyut” matematiğin maddi nesnelerle ilişki kurarak kirletilmemiş mutlak düşünce olduğu fikri gerçeklerden çok uzaktır. Ondalık sistemi mantıksal çıkarımlarımız veya “özgür irademiz” nedeniyle değil, on tane parmağımız olduğu için kullanırız. “Dijital” kelimesi parmaklar anlamına gelen Latince bir kelimeden türer. Ve bugün bile bir öğrenci, soyut bir matematik probleminin cevabını bulmadan önce, maddi bir sıranın altında gizlice maddi parmaklarını sayar. Çocuk böyle yaparak bilinçsizce de olsa aslında ilk insanların saymayı öğrendiği yolu takip etmektedir.

Matematiksel soyutlamaların maddi kökenleri Aristoteles için bir sır değildi: “Matematikçi” diye yazmıştı, “soyutlamaları araştırır. Ağırlık, yoğunluk, sıcaklık vb. bütün duyusal nitelikleri eleyerek, geride sadece nicel, sürekli (bir, iki veya üç boyutta) ve temel özelliklerini bırakır.” Başka bir yerde şöyle der: “Matematiksel nesneler duyusal (yani maddi) şeylerden ayrı olarak varolamazlar.” Ve “doğrulardan, düzlemlerden ya da noktalardan oluşan hiçbir şey görmemekteyiz. Oysa doğrular, düzlemler ve noktalar maddi tözler olsalardı, bunlardan oluşan şeyler görmüş olmamız gerekirdi. Noktalar, doğrular ve düzlemler tanım olarak cisimden önce gelebilirler ama bu nedenle töz olarak önce gelmezler.”[1]

Matematiğin gelişimi bütünüyle maddi insan ihtiyaçlarının sonucudur. İlk insan en başta, tam da küçük bir çocuk gibi parmaklarıyla saydığı için sadece on sayı sesine sahipti. Muhtemelen el parmakları gibi ayak parmaklarını da saymaları yüzünden, onluk yerine yirmilik sayı sistemini kullanan Orta Amerikalı Mayalar bir istisnaydı. Para ve özel mülkiyetin olmadığı basit bir avcı-toplayıcı toplumda yaşayan atalarımızın büyük sayılara ihtiyaçları yoktu. Ondan daha büyük bir sayıyı ifade etmek için, parmaklarıyla bağıntılı olan on sesten bazılarını bir araya getirmişti. Böylece, ondan bir fazlası, “bir-on” olarak ifade edilmişti (Latincede “undecim” ve eski Cermencede “ein-lifon” olarak ifade edilen bu sayı modern İngilizcede “eleven” haline gelmiştir). Beş ilâve dışında –yüz, bin, milyon, milyar, trilyon– diğer bütün sayılar yalnızca orijinal on sesin bir bileşimidirler.

Sayıların gerçek kökeni, 17. yüzyılın büyük materyalist İngiliz filozofu Thomas Hobbes tarafından kavranmıştı:

Ve öyle görünüyor ki, bu sayı adlarının kullanılmadığı bir zaman vardı; insanlar hesabını tutmak istedikleri şeyler için bir veya iki ellerinin parmaklarına başvuruyorlardı; ve bu nedenle şu anki sayısal kelimelerimiz, neredeyse her ulusta on üzerinden, bazılarında ise beş üzerinden devam eder ve daha sonra tekrar başlarlar.[2]

Alfred Hooper şöyle açıklar:

Tam da ilkel insan, parmakları kadar sayı-sesleri icat ettiğinden dolayı, bugünkü sayı sistemimiz onluk bir sistem, yani on sayısına dayanan ve ilk on temel sayı-sesinin biteviye tekrarından oluşan bir sistemdir... Eğer insanlara on yerine on iki parmak verilmiş olsaydı, hiç şüphesiz on ikilik bir sayı sistemine, yani on iki temel sayı-sesinin biteviye tekrarından oluşan on ikiye dayanan bir sisteme sahip olurduk.[3]

Aslında on ikilik sistem ondalık sistemle karşılaştırıldığında bazı avantajlara sahiptir. On yalnızca iki ve beşe tam bölünebilirken, on iki sayısı iki, üç, dört ve altıya tam bölünebilir.

Roma rakamları parmakların resimsel tasviridirler. Muhtemelen beş için kullanılan sembol baş parmakla diğer parmaklar arasındaki boşluğu ifade ediyordu. “Calculate” [hesaplamak] sözcüğünü türettiğimiz “calculus” [hesap] kelimesi Latince’de, bir abaküs üzerindeki taş boncukları sayma yöntemiyle bağlantılı olarak “çakıl taşı” anlamına gelir. Bu ve bunun gibi sayısız diğer örnekler matematiğin insan aklının özgür işleyişinden doğmadığını, tersine uzunca bir toplumsal evrim, deneme yanılma, gözlem ve deney sürecinin ürünü olduğunu ve görünüşte soyut karakterli bir bilgi bütünü olarak tedricen ayrışmış olduğunu gösterir. Aynı şekilde bugünkü ağırlık ve ölçü sistemlerimiz de maddi nesnelerden türetilmiştir. İngiliz ölçü birimi “foot”un [ayak] kökeni besbelli ortadadır, tıpkı İspanyolcada bir inç için kullanılan ve başparmak anlamına gelen “pulgada” kelimesinde olduğu gibi. En temel matematik sembolleri olan (+) ve (–)nin kökeninin matematikle hiçbir ilişkisi yoktur. Bu işaretler, Ortaçağda tüccarlar tarafından ambardaki mal miktarının fazlalığını veya noksanlığını hesaplamak için kullanılan işaretlerdir.

Çeşitli unsurlardan kendilerini korumak üzere konutlar inşa etme ihtiyacı, ilk insanları, uçları birbirine tam denk gelecek şekilde odun kesmenin en iyi ve en pratik yolunu bulmaya zorladı. Bu dik açının ve marangoz gönyelerinin keşfi anlamına geliyordu. Toprak seviyesinde bir ev inşa etme ihtiyacı, Mısır ve Roma mezarlarında resmedilen, tepesine bağlanmış bir iple bir ikizkenar üçgen şeklinde birbirine birleştirilmiş üç tahta parçasından oluşan bir çeşit taban terazisinin bulunmasına yol açtı. Bunun gibi basit pratik aletler piramitlerin yapımında kullanıldı. Mısırlı rahipler tamamen bu gibi pratik faaliyetlerden türeyen muazzam bir matematiksel bilgi birikimine ulaştılar.

“Geometri” kelimesinin tam da kendisi pratik kökenini ele verir. Tek anlamı “yer-ölçüsü”dür. Yunanlıların erdemi bu keşifleri tamamlanmış bir teorik ifadeye kavuşturmalarıydı. Bununla birlikte, teoremlerini mantıksal çıkarımın saf ürünleri olarak sunmakla kendilerini ve gelecek kuşakları yanıltıyorlardı. Matematik eninde sonunda maddi gerçeklikten türer, zaten öyle olmasaydı tek bir uygulama alanına bile sahip olamazdı. Pythagoras’ın bütün öğrenciler tarafından bilinen ünlü teoremi –bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki dik kenarın karelerinin toplamına eşittir– bile Mısırlılar tarafından uygulamada hesaplanmıştı.

Matematikteki çelişkiler

Engels ve ondan önce Hegel, matematikte bulunan sayısız çelişkiye işaret etti. Matematikçilerin “yüce bilimleri” için öne sürdükleri kusursuzluk ve neredeyse papa yanılmazlığı iddialarına rağmen bu hep böyleydi. Bu moda, mistik bir Sayı anlayışını ve uyumlu evren fikrini taşıyan Pisagorcular tarafından başlatıldı. Fakat çok geçmeden uyumlu ve düzenli matematiksel evrenlerinin, çözümü onları çaresizliğe sürükleyen çelişkilerle yüklü olduğunu keşfettiler. Örneğin bir karenin köşegeninin uzunluğunu sayılarla ifade etmenin imkânsız olduğunu buldular.

Sonraki Pisagorcular, iki sayısının karekökü gibi, sayılarla ifade edilemeyecek birçok sayının olduğunu keşfettiler. Bu bir “irrasyonel sayı”dır. Fakat ikinin karekökü bir kesir olarak ifade edilememesine rağmen, bir üçgenin kenar uzunluğunun bulunmasına yarar. Bugünün matematiği, evcilleşmeleri için harcanan bütün gayretlere rağmen hâlâ evcilleşmemiş, ancak bir kez ne oldukları kabul edildiğinde değerli hizmetlerle karşılık veren bu gibi garip hayvanların gerçek bir hayvanat bahçesidir. Bu yüzden, hepsi garip ve çelişkili özellikler gösteren ve hepsi modern bilim çalışmaları için vazgeçilmez olan irrasyonel, imajiner, transendental ve sonluötesi sayılarımız vardır.*

Esrarengiz p (pi) sayısı antik Yunanlılar tarafından iyi biliniyordu ve çocuklar nesiller boyunca bu sayıyı, çemberin çevresi ile çapı arasındaki oran olarak tanımlamayı öğrenmiştir. Gariptir ama onun gerçek değeri yine de bulunamamaktadır. Arkhimedes onun ortalama değerini “tüketme” olarak bilinen bir yöntemle hesapladı. Bu değer 3,14085 ve 3,14286 arasında bir değerdi. Ancak eğer kesin değeri yazmayı denersek, garip bir sonuç elde ederiz: p=3,14159265358979323846264338327950... ve sonsuza kadar gider. Bugün transendental bir sayı olarak bilinen pi (p) bir dairenin çevresini bulmak için kesinlikle gereklidir, ancak cebirsel bir denklemin çözümü olarak ifade edilemez. Bundan başka, hiç de aritmetik bir rakam olmayan eksi birin (–1) karekökü vardır. Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldığında –1 sonucunu veremeyeceğinden –çünkü iki eksinin çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar. En garip yaratık olan bu sayı, adına rağmen hayal gücünün bir uydurması değildir. Anti-Dühring’de Engels buna şöyle işaret eder:

Herhangi bir şeyin karesinin negatif bir büyüklük olması bir çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Öyleyse eksi birin kare kökü sadece bir çelişki değil saçma bir çelişki, gerçek bir saçmalıktır. Ama yine de birçok durumda <!--[if !vml]--><!--[endif]-->hatasız bir matematiksel işlemin zorunlu sonucudur. Dahası, <!--[if !vml]--><!--[endif]-->’le işlem yapılması yasaklansaydı, ister yüksek olsun ister basit, matematik ne hale gelirdi?[4]

Engels’in kısa yorumu bugün daha da doğrudur. Artı ve eksinin bu çelişkili bileşimi, kuantum mekaniğinde kesinlikle çok önemli bir rol oynar, modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir.

Bu matematiğin şaşırtıcı çelişkiler barındırdığı tartışma götürmez. Hoffman bu hususta şunları söylemek zorunda kalmıştır:

Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir bağlantısının olması gerektiğine inanmak güçtür. Yeni fiziğin en derin temelini oluşturacağı ve kendisinden öncekilere göre bilim ve metafiziğin bağrına çok daha derin biçimde uzanacağı, bir zamanlar dünyanın yuvarlak olduğu doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.[5]

Günümüzde sözde “imajiner” sayıların kullanımı bir oldu bitti olarak kabul edilmektedir. Eksi birin kare kökü, elektrik devrelerinin oluşturulması gibi bir dizi zorunlu işlem alanlarında kullanılır. Sonluötesi sayılara gelince, bu sayılara da uzay ve zamanın doğasını anlamak için gereksinim duyulmaktadır. Modern bilim, ve özellikle kuantum mekaniği, niteliği açıkça çelişkili olan matematiksel kavramları kullanmaksızın ayakta kalamazdı. Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan Paul Dirac, a çarpı b’nin b çarpı a ile aynı şey olduğunu ifade eden bayağı matematiğin yasalarına meydan okuyan “Q” sayılarını keşfetti.

Sonsuz var mı?

Sonsuz fikri kavranması zor bir fikir gibi görünür, çünkü ilk bakışta bütün insani deneyimlerin ötesindedir. İnsan aklı sonlu düşüncelerde dile getirilen sonlu şeyleri ele almaya alışmıştır. Her şeyin bir başlangıcı ve sonu olduğu düşüncesi alışılmış bir düşüncedir. Fakat alışılmış olan mutlaka doğru değildir. Matematiksel düşünce tarihi bu konuda son derece öğretici bazı derslerle doludur. En azından Avrupa’daki matematikçiler, uzun süre sonsuzluk kavramını zihinlerden uzaklaştırmaya çalıştılar. Bu uğraşların nedeni yeterince açıktır. Sonsuzluğu kavramsallaştırmanın açık zorluğundan başka, saf matematiksel terimlerle sonsuzluk bir çelişki içerir. Matematik belirli büyüklükleri ele alır. Sonsuzluk ise doğası gereği sayılamaz ya da ölçülemez. Bunun anlamı, ikisi arasında gerçek bir çatışma olduğudur. Bundan ötürü antik Yunanın büyük matematikçileri sonsuzluktan vebadan kaçar gibi kaçmışlardır. Buna rağmen insanoğlu felsefenin başlangıcından beri sonsuzluk hakkında spekülasyonlarda bulunmuştur. Anaksimandros (İ.Ö. 610-547) sonsuzluğu kendi felsefesinin temeli olarak almıştır.

Zenon paradoksları (İ.Ö. 450) hareketin bir yanılsama olduğunu kanıtlamaya çalışarak, sürekli büyüklüklerin bir bileşeni olarak sonsuz küçük nicelikler düşüncesinin özündeki zorluğa işaret eder. Zenon hareketi çeşitli biçimlerde “çürüttü”. Hareket halindeki bir kütlenin verili bir noktaya varmadan önce, ilkin mesafenin yarısını kat etmesi gerektiğini ileri sürdü. Ama bundan önce, bu yarı mesafenin de yarısını kat etmelidir ve bu böylece sonsuza kadar devam eder. Bu nedenle, iki kütle aynı yönde hareket ediyorsa ve öndekinden belirli bir mesafe arkada olan daha hızlı hareket ediyorsa, arkadakinin öndekine yetişeceğini varsayarız. Böyle değildir der Zenon: “Yavaş olan hiçbir zaman hızlı olan tarafından yetişilip geçilemez.” Bu ünlü Hızlı Akhilleus paradoksudur. Akhilleus’la bir kaplumbağa arasındaki bir yarışı hayal edin. Akhilleus’un, 1000 metre önde başlayan bir kaplumbağadan on kat daha hızlı koşabileceğini varsayalım. Akhilleus 1000 metre yol kat ettiğinde kaplumbağa 100 metre önde olacaktır; Akhilleus 100 metre kat ettiğinde kaplumbağa 10 metre önde olacaktır. O mesafeyi de kat ettiğinde kaplumbağa bir metrenin onda biri kadar önde olacaktır ve bu böylece sonsuza kadar gider.

Zenon paradoksu hareketin bir yanılsama olduğunu ya da Akhilleus’un pratikte kaplumbağaya yetişemeyeceğini kanıtlamaz, ama gerçekten de bugün biçimsel mantık olarak bilinen düşünme biçiminin sınırlarını parlak bir şekilde açığa çıkarır. Tıpkı Eleacıların yaptığı gibi gerçeklikten bütün çelişkileri ayıklama girişimi, kaçınılmaz olarak bu türden çözümsüz paradokslara veya daha sonra Kant’ın taktığı isimle mantıksal çatışkılara yol açar. Bir çizginin sonsuz sayıda noktadan oluşamayacağını kanıtlamak için Zenon, durumun gerçekten bu olması halinde Akhilleus’un kaplumbağaya asla yetişip geçemeyeceğini iddia etti. Burada gerçekten mantıksal bir sorun vardır. Alfred Hooper’ın açıkladığı gibi:

Bu paradoks, ortak çarpanı 1’den küçük olan ve bu nedenle terimleri gittikçe küçülen ve böylelikle de belli bir limit değerine “yakınsayan” bir geometrik dizi oluşturan sayıların sonsuz seri toplamını bulmanın mümkün olduğunu bilen insanları bile hâlâ şaşırtmaktadır.

Aslında Zenon, matematiksel düşüncede, iki bin yıl çözüm bekleyecek olan bir çelişkiyi ortaya çıkarmıştı. Bu çelişki sonsuzluğun kullanımıyla ilgilidir. Pythagoras’tan 17. yüzyılda diferansiyel ve integral hesaplarının keşfine kadar, matematikçiler sonsuzluk kavramının kullanımından kaçınmak için mümkün olan her yola başvurdular. Sadece büyük dahi Arkhimedes konuyu ele aldı, ancak yine de dolambaçlı bir yöntem kullanarak ondan kaçındı. Zenon’un öğrencisi olan Leukippus’tan başlayarak eski atomcular, atomların “bölünemez ve sonsuz sayıda olduklarını, sonsuz genişlikteki boş uzayda durmaksızın dolaştıklarını” ifade ettiler.

Modern fizik, iki saniye arasındaki anların sayısının sonsuz olduğunu kabul eder, tıpkı ne bir başlangıcı ne de bir sonu olan bir zaman aralığındaki anların sayısının sonsuz oluşu gibi. Evrenin bizzat kendisi, durmaksızın değişen, hareket eden ve gelişen neden ve sonuçların sonsuz bir zincirinden oluşur. Bu, “sonsuzluğun” her zaman bir sayısıyla “başladığı” basit aritmetikteki sonsuz sayı serilerini içeren kaba ve tek taraflı sonsuzluk fikrine hiç benzemez. Hegel’in “Kötü Sonsuzluk” dediği şey budur.

Yunan matematikçilerin en büyüğü Arkhimedes (İ.Ö. 287-212) geometride bölünemezleri etkin bir biçimde kullandı; ancak sonsuz büyük ve sonsuz küçük fikrini mantıksal bir temel olmaksızın ele aldı. Aynı şekilde Aristoteles, cisimlerin biçimleri olması gerektiği için sınırlanmış olmaları gerektiği ve bu nedenle sonsuz olamayacakları fikrini ileri sürdü. İki çeşit “potansiyel” sonsuzluk –aritmetikte birbirini izleyen toplamlar (sonsuz büyük) ve geometride birbirini izleyen bölümlemeler (sonsuz küçük)– olduğunu kabul ederken yine de bir çizgi parçasının birçok değişmez sonsuz küçükten veya bölünmezden oluştuğunu savunan geometricilerle polemiğe girişti.

Sonsuzluğun bu inkârı klasik Yunan matematiğinin gelişimine gerçek bir engel oluşturdu. Tersine Hintli matematikçilerin bu gibi kuruntuları yoktu ve daha sonra Araplar yoluyla Avrupa’ya giren büyük ilerlemeler sağladılar. Biçimsel mantığın katı şemaları gereğince, çelişkiyi düşünceden kovma girişimi matematiğin gelişimini duraklattı. Ancak Rönesansın maceracı ruhu insanların aklını yeni olasılıklara, işin doğrusu sonsuzluk fikrine açtı. Yeni Bilim (1638) adlı kitabında Galileo her tam sayının sadece bir tam karesinin olduğuna ve her tam karenin sadece bir pozitif tam sayının karesi olduğuna işaret etti. Böylece bir bakıma ne kadar pozitif tamsayı varsa o kadar da tam kare vardır. Bu bizi derhal mantıksal bir çelişkiye götürür. Bu, bütünün, kendisini oluşturan parçalardan daha büyük olduğu aksiyomuyla çelişir, çünkü tüm pozitif tamsayılar bir tam kare değildirler ve tüm tam kareler tüm pozitif tamsayıların bir parçasını oluştururlar.

Bu paradoks, insanoğlunun düşüncelerini ve kabullerini eleştirel bir analize tâbi tutmaya başladığı Rönesanstan beri matematikçilerin başına belâ olan sayısız paradokslardan yalnızca biridir. Bunun bir sonucu olarak, muhafazakâr kafaların inatçı direnişlerine rağmen matematiğin sözde itiraz edilemez aksiyomları ve “ebedi doğruları” yavaşça ve birer birer yerle bir edildi. Tüm gösterişli yapının çürük olduğunun ve daha sağlam ama yine de daha esnek temeller üzerinde –ki zaten varoluş sürecinde yatan ve kaçınılmaz olarak diyalektik karakterli bir temel üzerinde– tam bir yeniden inşa gereksiniminin bulunduğunun artık ortaya çıkmış olduğu bir noktaya ulaşıyoruz.

Kalkülüs (Hesap)

Ortaçağdan bu yana matematikteki en büyük atılım olan diferansiyel ve integral hesabın keşfedilmesiyle Klasik Yunan matematiğinin aksiyomları denilen şeylerin birçoğunun temeli zaten zayıflamıştı. Doğru ve eğrinin mutlak zıtlar olduğu ve ikisinin de ortak ölçülerinin olmadığı, yani birinin diğeri cinsinden ifade edilemeyeceği fikri bir geometri aksiyomudur. Oysa son tahlilde diferansiyel hesapta doğru ve eğri eşit kabul edilir. Engels’in işaret ettiği gibi, bunun temeli konunun Leibniz ve Newton tarafından ele alınmasından çok uzun süre önce ortaya konulmuştu: “Matematikteki dönüm noktası Descartes’in değişken büyüklüğü olmuştu. Bununla matematiğe hareket, diyalektik ve ardından da Newton ve Leibniz tarafından keşfedilmemiş olsa da tam olarak onlar tarafından tamamlanmış olan diferansiyel ve integral hesabın zorunluluğu ihtiyacı girdi.”[6]

Kalkülüsün keşfi, matematikte ve genel olarak bilimde bütünüyle yeni ufuklar açtı. Eski tabular ve yasaklar bir kez aşıldıktan sonra, matematikçiler yepyeni alanları araştırmak için özgürleştiler. Fakat sonsuz büyük ve sonsuz küçük çokluklardan, eleştirel olmayan bir yolla, mantıksal ve kavramsal sonuçlarını düşünmeksizin yararlandılar. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük çoklukların kullanımı, belli nedenlerden dolayı hiç de açık olmayan ama yine de her zaman doğru sonucu veren bir çeşit “kullanışlı hayal ürünü” olarak görüldü. Mantık Bilimi adlı eserinin birinci cildinin Nicelik konulu bölümünde Hegel, matematiksel sonsuzla tanışılmasının bir yandan matematiğin önünde yeni ufuklar açarken ve önemli sonuçlara yol açarken, diğer yandan yine de açıklamasız kaldığına, çünkü mevcut geleneklerle ve yöntemlerle çatıştığına dikkat çeker:

Fakat matematiksel sonsuz yönteminde, matematik, kendisinin bir özelliği olan ve bir bilim olarak üzerine yaslandığı bu yöntemde esaslı bir çelişkinin farkına varır. Çünkü sonsuzun hesaplanması, sonlu büyüklüklerle işlem yaparken matematiğin toptan reddetmesi gereken işlem tarzlarını kabul eder ve gerektirirken, aynı zamanda, sonlu büyüklükler için geçerli olan yöntemleri sonsuz büyüklüklere de uygulamanın yolunu arayarak bu sonsuz büyüklükleri de sonlu nicelikler olarak ele alır.[7]

Sonuç, kalkülüsün geçerliliğine dair uzun bir tartışma dönemi oldu. Berkeley mantık yasalarıyla açıkça çeliştiği için onun geçersiz olduğunu ilân etti. Principia adlı eserinde bu yeni yöntemi kullanan Newton, ters bir tepki alma korkusuyla, kendisini bu gerçeği halktan gizlemek zorunda hissetti. 18. yüzyılın başlarında, Bernard Fontenelle, sonsuz tane doğal sayı olduğuna göre sonlu sayıların mevcudiyeti ne kadar doğruysa sonsuz bir sayının mevcudiyetinin de o kadar doğru olacağını ve sonsuzluğun karşıtının bir sonsuz küçük olduğunu açıkça ifade edecek cesareti sonunda kendisinde buldu. Bununla birlikte, Fontenelle sonsuzluğu bir yanılsama olarak reddeden Georges de Buffon tarafından yalanlandı. D’Alembert’in üstün zekâsının bile bu fikri kabul etmeye gücü yetmedi. Encyclopaedia’da diferansiyel hakkındaki makalesinde, sonlu çoklukların bir limiti şeklindeki olumsuz anlamı dışında, sonsuzluğun varlığını reddetti.

“Limit” kavramı, aslında sonsuzluğa içsel olan çelişkinin üstesinden gelme çabası olarak devreye sokuldu. Bu çaba, matematikçilerin düşünüp taşınmaksızın kalkülüsü basitçe kabul etmeye –tıpkı eski kuşakların alışık oldukları gibi– artık yanaşmadıkları 19. yüzyılda özellikle çok yaygındı. Diferansiyel hesap, çeşitli derecelerden –birinci dereceden, ikinci dereceden vs.– sonsuz ölçüde küçük büyüklüklerin varlığını ön koşul olarak kabul etti. İşin içine “limit” kavramını katarak, en azından gerçek bir sonsuzluğun gerekmediği izlenimini oluşturdular. Niyet sonsuzluk fikrinin öznel olduğunu göstermek, nesnelliğini inkâr etmekti. Bu değişkenler madem verili herhangi bir nicelikten daha küçük olabiliyorlar o halde potansiyel olarak sonsuz ölçüde küçük olabilirler dendi, tıpkı potansiyel olarak sonsuzun önceden tespit edilmiş herhangi bir büyüklükten daha büyük olabileceği gibi. Başka bir deyişle, “istediğiniz kadar büyük veya küçük!” Bu el çabukluğu, zorluğu ortadan kaldırmadı, sadece kalkülüsün içindeki çelişkileri örtmek için bir incir yaprağı sağladı.

Büyük Alman matematikçisi Karl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiksel sonsuzluğu kabul etmeye hazırdı, ancak gerçek sonsuzluk fikri karşısında dehşete kapılıyordu. Bununla birlikte çağdaşı Bernard Bolanzo, Galileo’nun paradoksundan yola çıkarak “tam sonsuzluk” fikrindeki örtük paradoks üzerinde ciddi bir çalışmaya başladı. Bu çalışma daha sonra sonsuzu pozitif bir şey olarak nitelendiren ve aslında pozitif sayılar kümesinin negatif olarak (yani sonsuz olmayan bir şey olarak) değerlendirilebileceğine dikkati çeken Richard Dedekind (1813-1914) tarafından daha da geliştirildi. Son olarak, George Cantor (1845-1918) sonsuz kümeler tanımının çok daha ötesine gitti ve tamamen yeni bir “sonluötesi sayılar” aritmetiğini geliştirdi. Cantor’un 1870’de yazmaya başladığı eseri, sonsuzluğun Demokritos’la başlayan tüm tarihinin yeniden gözden geçirilişidir. Bundan yola çıkarak, kümeler teorisine dayanan yepyeni bir matematik dalı geliştirildi.

Cantor, ne kadar büyük olursa olsun bir alandaki ya da bir hacimdeki veya daha çok boyutlu bir ortamdaki noktaların, bir doğrudaki veyahut ne kadar küçük olursa olsun bir doğru parçasındaki noktalarla birebir eşlenebileceğini gösterdi. Nasıl son bir sonlu sayı olamazsa, aynı şekilde son bir sonluötesi sayı da olamaz. Bu bakımdan Cantor’dan sonra, sonsuzun matematikte işgal ettiği merkezi konum hakkında hiçbir tartışma söz konusu olamaz. Dahası onun çalışmaları, modern matematiğin başına dert olan ve hâlâ çözüm bekleyen bir dizi paradoksu da ortaya çıkardı.

Tüm modern bilimsel analizler süreklilik kavramına dayanır, yani uzaydaki iki nokta arasında başka sonsuz sayıda nokta vardır ve aynı şekilde zamanın herhangi iki noktası arasında da başka sonsuz sayıda an vardır. Bu kabulleri yapmaksızın modern matematik işleyemezdi. Bu gibi çelişkili kavramlar eski kuşaklar tarafından öfkeyle reddedilir veya en azından şüpheyle karşılanırdı. Sadece Hegel’in diyalektik dehası (yeri gelmişken kendisi büyük bir matematikçidir) sonlu ve sonsuz, uzay, zaman ve hareket üzerine analizlerinde bunların hepsini öngörme yeteneğindeydi.

Ama yine de bütün delillere rağmen birçok modern matematikçi, sonsuzluğun geçerliliğini “soyut” matematiğin bir olgusu olarak kabul ederken, sonsuzluğun nesnelliğini inkâr etmekte ısrar ediyorlar. Böyle bir ayrımın hiçbir anlamı yoktur. Matematik gerçek, nesnel dünyayı yansıtmayı beceremiyorsa, ne işe yarar? Modern matematikte (ve dahası inanılmaz gibi gelse de teorik fizikte), nesnel dünyadan bağımsız olarak bir denklemin geçerliliğinin tümüyle onun estetik değeri sorunu olduğu varsayılarak, en mistik biçimli idealizme belirli bir geri dönüş eğilimi vardır.

Matematiksel işlemlerin gerçek dünyaya uygulanabilmesi ve anlamlı sonuçlar elde edilebilmesi, matematik ile gerçek dünya arasında bir yakınlık olduğunu gösterir. Aksi takdirde matematiğin pratik uygulanabilirliği olmazdı ki, durumun böyle olmadığı açıktır. Modern matematikte sonsuzluğun kullanılabilmesinin ve kullanılma zorunluluğunun nedeni, bizzat doğanın kendisinde sonsuzluğun varoluşuna dayanır, ki kendisini matematiğe dayatan da, tüm kapı dışarı etme çabalarına karşın davetsiz bir misafir gibi çıka gelen bu doğadır.

Matematiğin sonsuzluğu kabul etmesinin neden bu kadar uzun sürdüğü Engels tarafından çok güzel açıklanmıştır:

Sonu olan fakat başlangıcı olmayan bir sonsuzluğun, başlangıcı olan fakat sonu olmayan bir sonsuzluktan ne daha çok ne de daha az sonsuz olduğu açıktır. En küçük diyalektik kavrayış bile Bay Dühring’e, başlangıç ve sonun tıpkı Kuzey ve Güney kutbu gibi zorunlu olarak birbirlerine bağlı bulunduğunu ve eğer son kaldırılıp atılırsa, bizzat başlangıcın bir son haline –bir serinin sahip olduğu tek son haline– geleceğini (ve tersi) söylemesi gerekirdi. Sonsuz serilerle çalışma matematiksel alışkanlığı olmasaydı, bütün aldanma imkânsız olurdu. Matematikte belirsize, sonsuza ulaşmak için belirli, sonlu terimlerden başlamak gerektiği için, pozitif ya da negatif olsun tüm matematiksel seriler 1 sayısıyla başlamak zorundadır, aksi takdirde bu seriler hesap yapmakta kullanılamazlar. Ama matematikçinin mantıksal gereksinmesi gerçek dünya için zorunlu bir yasa olmaktan çok uzaktır.[8]

Matematikte Kriz

Okul günlerimizden beri bizlere, matematiğe, kendinden menkul doğrular olan “aksiyomlarıyla” ve katı mantıksal çıkarımlarıyla bilimsel kesinliğin son sözü olarak bakmamız öğretildi. 1900 yılında toplanan Uluslararası Matematikçiler Kongresinde David Hilbert, en önemli 23 çözümsüz matematik probleminden oluşan bir listeyi ortaya koymasına rağmen, o yıllarda tüm bunlara kesin gözüyle bakılırdı. Bu noktadan itibaren işler teorik matematikte gerçek bir krizden bahsetmenin mümkün olduğu bir noktaya doğru gittikçe daha da karmaşıklaştı. 1980’de yayınlanan çok okunan kitabı Matematik: Kesinliğin Kaybı’nda Morris Klein durumu şöyle açıklıyor:

19. yüzyılın başlarındaki keşifler, tuhaf geometriler ve tuhaf cebirler, matematikçileri istemeye istemeye matematiğin gerçek olmadığını ve matematiksel bilim yasalarının doğru olmadığını anlamaya zorladı. Örneğin birbirinden farklı birçok geometrinin uzaysal deneyime aynı ölçüde denk düştüğünü buldular. Hepsi doğru olamazdı. Görünüşe göre matematiksel tasarım doğaya içsel değildi, ya da öyleyse bile insanoğlunun matematiği bu tasarımın zorunlu açıklanışı değildi. Gerçeğin anahtarı kaybedilmişti. Bunun fark edilişi matematiğin başına gelen felâketlerin ilkiydi.

Yeni geometrilerin ve cebirlerin bulunuşu, matematikçilerin başka bir doğa şokunu yaşamasına yol açtı. Doğruları elde ettikleri kanısı onları o kadar kendilerinden geçirmişti ki, sağlam bir muhakeme pahasına, bu zahiri doğruları güvence altına almak için hummalı bir koşuşturmaya girişmişlerdi. Matematiğin bir doğrular kümesi olmadığının fark edilmesi, kendi yarattıkları şeye karşı duydukları güveni sarstı ve kendi keşiflerini tekrar gözden geçirmeye giriştiler. Matematiğin mantığının acıklı bir durumda olduğunu bulmak onları dehşete düşürdü.