ac matematik: MATEMATİĞİN FELSEFESİ

Matematiğin Felsefesi II

Matematiğin felsefesi ele alınması oldukça zor ama çok da ilginç bir konudur. Alfred N. Whitehead'in bir keresinde söylediği gibi, "matematik, insan ruhunun en özgün yaratılarından biridir ve başlıca rakibi müziktir". Arı matematik, akılcı düşüncenin doruğunda oturmaktadır. Ondan kopuk olmayan uygulamalı matematik de o doruğun etrafını saran inanılmaz güzellikleri oluşturmaktadır. Bugünün belirleyici paradigması olan pozitivizm ne kadar dirense de, bu dorukla etrafının karşılıklı etkileşimli bağlantıları giderek yeni bir matematik felsefesinin inşa edilmesine kaynaklık etmektedir.

Matematiksel sonuçlar; temel kuramlardan geometrik şekillere, işlevsel çözümlemenin karmaşık yapılanmalarına ve küme kuramına kadar  kesinliğin, özenin ve belirliliğin paradigmaları olarak bir görüntü çizerken, yine aynı matematik bilginin kesin gerçekliğine ulaşmanın sonsuzda olacağını bize gösteren ayrı bir resim de çizmektedir. Matematiğin, felsefesinden yoksun kalmasının olanaksızlığı giderek "uzman" kişilerden insanlık kültürünün bütünlüğüne doğru yol almaktadır. Matematiksel sonuç ve yöntemler genellikle şaşırtıcı ve zariftir. Bazen de sanatlarda bulunan tipik güzelliklere benzer biçimde sade, soyut güzelliklerin üstündeki örtüyü kaldırır. Eğitim dizgelerinde yalnızca işlem, yöntem ve problemlere indirgenen matematiğin entellektüel yaşamımızın içine işleyen bu boyutlarıyla ele alınmasına ve felsefesiyle bütünleşen kültürel bir bütünlüğe büyük gereksinme vardır. Felsefesinden koparılmış bir matematik özellikle eğitsel süreçlerde insana yabancılaşır ve bu yabancılaşma içindeki birey de matematiği bir kaygı yığınına dönüştürür ve "ezber" olgusuna önemli bir yer açılır.

Matematiğin felsefesi, matematiğin özsel yönlerini aralamak, aydınlatmak ve insan türünün nasıl oluyor da matematik yapabildiğini araştırmak üzere yola çıktığımızda başlar. Buradaki zorluk, çeşitli yönlerini tutarlı bir bütünlük içinde toplayabilmekte yatmaktadır. Tüm bunları bir araya getirmenin güçlüğü açıktır. Kültürden ve yaşam tarzından bağımsız olmaması farklı bakış açılarını da beraberinde getirmektedir. Örneğin, matematiksel sonuçların kuşku duyulmazlığını, nesnelliğini ve zaman dışılığını açıklamak için onları, uzay-zaman dışında bir Platonik dünyanın gerçek betimlemeleri olarak görmemiz gerekir. Bu bakış açısı bizi, insanın bu gerçekliklerle nasıl temas edebileceğini açıklamak sorunuyla baş başa bırakır. Buna karşılık, Platonik dünyadan uzaklaşarak matematiğe, biçimsel simgelerle oynanan bir oyun olarak bakabiliriz. Bu, insanların nasıl matematik yaptıklarını açıklayacaktır. Zaten doğuştan oyun oynayanlar değil miyiz? Ancak, bu görüş bizi bir görevle karşı karşıya bırakır: Oyunun kurallarını belirleme ve bu matematik oyununun neden bu kadar kullanışlı olduğu. Fakat hâlâ, matematiği açıklamak için başka yaklaşımlar da vardır. Ve tüm bunlar, matematiğin diğer yönlerini tamamen gizem içinde bırakarak matematiğin bazı yönlerini aydınlatmak üzere kaçınılmaz olarak indirgemeci konumlarını alacaklardır. Fakat, tüm bu çeşitlilik içindeki yaklaşımlarda göze çarpan temel bir ayırım vardır. Matematiğin gerçekçi (Platonist) düşünce ve yapılandırmacı (constructivist) düşünce. Gerçekçilik, matematiksel evrenin gerçekliğini kabul eder ve bunu keşfeden matematikçilerden bağımsız olduğunu öne sürer. Yapılandırmacılık ise matematik gerçekliğin, matematiği icat eden matematikçilerin var olan, günlük ve kazandıkları olası yapılanmalarca koşullandığını savunur. Yani, kültürel bir boyutu vardır.

Acaba, soyut nesneler var mıdır? Ya da, tüm nesneler uzay-zaman içinde somut olarak mı var olur? Gerçekçi yaklaşıma göre soyut nesneler vardır. Bunlar matematiksel nesnelerdir ve nesnel gerçeklikler olarak bulunur. Zihin, matematiksel sezginin ilkel yetisi veya matematiksel alanı kavrama yeteneğiyle donanmıştır. Matematiksel dil ve anlam, referans ve gerçek cinsinden geliştirilir. Buna karşılık, tüm nesnelerin uzay ve zaman içinde var olduğu, değiştiği ve kültürel olarak paylaşıldığı düşüncesi, matematiğin yapılanmaya dayalı bir yorumu olacaktır. Buna göre, matematik içsel bir zihin etkinliğidir. Anlam, daha çok hesaplamaya dayalı bir içeriktedir ve dilsel özelliklere çok yakındır. Dilsel anlam kuramı, koyutları (postulaları) ve dönüşümleri anlamlandırarak devingen bir yapıda geliştirilir. Görüldüğü gibi, matematiğin felsefesi çok boyutlu bir sahneyi canlandırmaktadır. İnceledikçe yeni boyutlar eklenmektedir. Felsefe ve ötesinde, örneğin doğal bilimler, ruhbilim, dilbilim gibi alanlarda yankılanan özelliklere sahiptir.

Genel ve ana hatlarıyla vermeye çalıştığımız matematiğin felsefe sahnesi, bilim felsefesi ve doğal olarak tarihi ile de bir bütünlük içindedir. Fakat, kendine özgü bir yönüyle uzun yıllardır bu sahnede aranmaya çalışılan "matematiğin temelleri" düşüncesidir. Aşağıda biraz daha ayrıntıyla vermeye çalışacağımız düşünce okulları, matematiği kendi alanları içinde hapsetmişlerdir. Yani, indirgemişlerdir. Buna karşılık, o alanlarda yapılan araştırmaların, matematiğin özsel bazı özelliklerinin ortaya çıkarılması açısından önemli katkıları vardır. Bunu aşağıda biraz daha ayrıntılı araştıracağız. Elde edilen sonuçlar birer düşünce önerisidir. Tartışma ortamını zenginleştirmeyi, tartışmaya açmayı ve yeni bir "matematiğin felsefesinin" kuruluşuna katkıyı amaçlamaktadır.

Biçimcilik

Matematiksel kılgıyı gözlediğimiz zaman simgelerin belirli kurallar uyarınca kullanıldığını görürüz. Bu açıdan baktığımızda matematiği, simgelerin kurallarla denetlenip yönetilen, ya da biçimsel bir kullanımı olduğunu söyleyebiliriz. Hatta bundan başkası olmadığını da vurgulayabiliriz. İşte bu noktada, "bundan başkası olmadığı" vurgusu, yüzeyselliğin ve onun felsefi bir başka adı olan indirgemeci değerlendirmeye düşmüş oluruz. Bu görüş, genellikle "biçimcilik" olarak bilinir. Buna bir örnek verelim. Yapay zekâ ile ilgilenen bilgisayar bilimcilerinden bazıları, doğal olarak insan zekâsının, kullandıkları makinaların yaptıklarından ilke olarak farklı olmadığını düşünme eğilimindedirler (her meslek alanında benzer indirgemeci eğilimlere rastlandığı gibi). Böylece, insan zekâsı bilgisayara, kuramlar programlara ve düşünce de bir makinanın yaptığı işlemlere benzetilir ya da uyarlanır. Bir biçimciye göre matematik, bundan başka ne olabilir ki? Ve de ekler: Herhangi bir yolla matematik yapan bir kişi simgeleri kullanmaktan kaçabilir mi?

Bunu biraz daha somutlaştırmak için bir biçimciye, aritmetiğin temel kuramından ne anladığını sormuş olalım. Tamamen biçimcilik içinde kalan bir kişi için bu kuram, yalnızca bir simgeler zinciridir. İçerik belirleyici değildir. Bu kuramın bir içeriğe sahip olduğunu bize hissettiren şey ise, yalnızca meşgul olduğumuz etkinliklerde oynadığı kesin roldür. Eğer simgesel etkinliklerimize daha kesin bir betimleme yaparsak, örneğin, matematiğin herhangi bir bölümünü yasa ve kurallarla düzenleyen özel bir biçimsel dizge geliştirirsek o zaman aritmetiğin temel kuramının rolüne ilişkin kesin bir açıklama getirebiliriz. Bunu yapmadığımız sürece, kuramın içeriği boştur. İçerik, biçimsel tasarımla ortaya çıkar ve anlam kazanır. Bu kuramla ilgili birkaç biçimsel kanıt belirtebiliriz. Bu kanıtları, başka kanıtların biçimsel ele alınışlarında kullanabiliriz. Ancak, biçimci için kuramların, simgesel etkinlerimiz içindeki işlevinin dışında bir anlamı yoktur. Bütünüyle biçimci olarak bakan bir kişi için kuram, doğal sayılar için herhangi bir önermede bulunmaz, çünkü kendisi için böylesi nesneler yoktur. Nesne yerine biçim egemendir.

Bu tartışma, matematiksel bir dizgenin biçimsel bir dizgeye indirgendiği bir durumu ifade etmektedir. Yoksa, matematikte simgenin rolü olmadığı, simgeler aracılığıyla bir göstergeler ve dil süreci içinde anlam kazandığını yok saymak olanaksızdır. Ayrıca, çok da önemlidir. Matematiksel etkinliklerde koskoca bir göstergebilimsel bir dizgenin belirleyici bir tarafı olduğu açıktır. Ancak, insan zihnin algoritmik bir araç olmadığı da ayrı bir açık noktadır. Biçimsel düzeyde, algoritmaların işlediği ve sorunları belirli adımlarla çözüme ulaştırabileceği gerçeği, matematiğin felsefesindeki, ya da yaşamla olan bağlatılarındaki karşılıklı etkileşimli yapılanmaları gözden ırak tutamaz. Yüzeysel kalan bu yaklaşım, özdeksel nesneye inemez.

Matematik yaparken, nasıl çözüleceğini bilmediğimiz bir problemle didişirken simgelerle uğraşmaktan çok, düşünceler ve yapılanmalarla uğraşırız. En zor durumlardan biri, matematikle uğraşan bir kişinin bir düşüncesinin olduğu, fakat bu düşüncesini biçimsel olarak belirtemediği anlardır. Bu düşünceler kendilerini sıklıkla görsel ve kinestetik görüntüler olarak gösterir. Problem üzerindeki inceleme sürdükçe ve çalışma aydınlandıkça ve de daha biçimsel oldukça, belirgin bir içsel yapının varlığı açıkça görülür. Bu durumda, bu içsel yapılar henüz simgesel kodlamaya uğramamıştır. Ruhbilimsel kategorileri burada nasıl ihmal edebiliriz? Bilgikuramsal yönlerini nasıl küçümseyebiliriz? Matematikçiler alışılmış olduğu üzere, düşüncelerden, yapılanmalardan ve kanıtlardan öyle bir şekilde konuşurlar ki, kullandıkları simgelerin dışında / arkasında, zihinlerinde birşeyler olduğu açıkça görülür. Farklı simge dizimlerinin aynı matematiksel yapılanmayı ifade ettiği, iki farklı sunumun aynı kanıtı açıkladığı / yorumladığı çoğukez karşımıza çıkar. Aynı yapılanma  örneğin, karmaşık sayılar  matematiğin oldukça farklı alanlarında kullanılabilir. Eğer eski bir kuramın yeni bir kanıtıyla karşılaşırsak, eski kuramın yeni bir biçimi olmadığını, boyutlararası yeni bir yapılanmanın oluşturulduğunu  biraz dikkatlice bakarsak  görebiliriz. Yapılanmalar, simgelere yaşam ve içerik kazandırır. Biçimcilikte, yapılanmalar öznel bir yanılsama olarak görülür ve bunları ya yadsırlar ya da "höristikler" değerlendirmesiyle ortamdan uzaklaştırırlar. Biçimcilik, yapılanmalarla ilgili bir kuram geliştiremez, çünkü sezgisel ağı yok sayar. Bu bakımdan biçimcilik, birçok yönüyle eksik açıkladığı matematiğin bir felsefesi olamaz.

Şimdi bu yapılanmalara biraz açıklık getirmek üzere biraz üstte sözünü ettiğimiz "sezgi" olgusu üzerinde duralım. Sezgi, biçimselin karşıtı gibi durmaktadır. Bu bağlamda sezgisel bir kanıt; biçimden kurtarılmış, simgelerden bağımsız ve belki de konuşulamazdır. Kılgısal bir gerçeklik olan sezgilerin, ya da sezgisel yapılanmaların matematiksel etkinlikte yaşamsal işlevleri vardır. Ancak matematiği, sezgiye indirgeyebilir miyiz?

Sezgicilik

Matematik, sezgisel yapılanmalardan meydana gelir, bunların dışsal ifadeleri de biçimsel kullanımlarıdır. Bundan ötesi önemsizdir. İşte bu önerme, sezgicilik olarak bilinen bir görüştür. Yine indirgemeci geleneğin bir koludur. Şimdi biraz inceleyelim.

Sezgicilik, matematikçinin dışındaki herhangi bir matematiksel gerçekliğin varlığını veya gerçekten kanıtlanmış ya da kanıtlanabilir bir gerçeği yadsır. Sezgiciye göre, matematiksel nesneler yalnızca yapılanmaların bir sonucu olarak var olur. Matematiksel olgular, ancak kendisinin yapabildiği tartışmaların sonucu olduğu sürece kendisi için gerçektir. Şimdi yeniden aritmetiğin temel kuramını ele alalım. Sezgici, bunu bir biçimci gibi yalnızca bir simgeler dizimi olarak almaz. Kuramın bir anlamı vardır. Ancak, kuramı herhangi bir doğal sayıyı, asal sayı çarpanlarına ayırma yeteneğimizi ifade etme olarak düşünür. Başka bir deyişle, bir sezgici aynen bir biçimci gibi kuramın anlamını, kılgısal etkinliğimiz içinde bırakır. Elbette insanda böyle bir yetenek olmasa, böyle bir bilişsel süreci gerçekleştiremezdi. Bu bilişsel sürecin, yetenek dışında bir dilsel ve göstergebilimsel ağ içinde karşılıklı etkileşimlerle toplumsal olarak meydana geldiğini göz önüne alırsak, sezgiye dayalı etmenlerin dışında da birçok değişkenin olduğu görülecektir. Entellektüel bir hareket olarak matematiksel sezgicilik, her birimizi birbirimizden yalıtır ve bu yalıtma bizi bilgikuramsal olarak bireysel kaynaklara indirger. Buna göre, içsel deneyim olanaklı biricik bilgi kaynağıdır ve içsel deneyimin dayandığı dışsal gerçeklikleri yadsır.

Yine yüzeysel bir tasarımla karşılaşmış durumdayız. Matematiğin söz konusu indirgemeci yorumu tek başına bütün bir felsefeyi açıklamakta güçlük çekmesine ve bundan dolayı yüzeysel kalması kaçınılmaz olmasına rağmen bu sezgici yaklaşımın katkıları da olmuştur. Sezgici yazın bize, matematiksel kılgının anlaşılmasına yardım etmiştir. Matematiksel yaratımın içsel süreçlerine ilişkin zengin düşünsel kaynaklar sağlamıştır. Matematiksel mantığın bir dalı olarak kendisini bu içgörülerin içeriğini anlamaya adamıştır.

Bununla birlikte sezgicilik, matematiğin en güçlü itici gücü olan toplumsal onaylı gerçeklikleri önemsememesidir. Herşey bir yana matematik, bilimin bir parçasıdır. En azından bilim-matematik bütünlüğünün önemli bir bileşenidir. Matematiği uygulamanın en temel amacı yeni gerçeklikleri ortaya çıkarmaktır. Sezgicilikte olduğu gibi, eğer bu özelliğinden vazgeçilirse matematik, bir oyuna indirgenmiş olur. Halbuki, matematiğin kültürle bir bütünleşikliği vardır. Matematik tarihine bir göz attığımız zaman, yeni tanımların, yeni tekniklerin ve yeni kuramların katıksız bir birikimiyle karşılaşmayız. Aksine, eski kavramların yinelenerek arıtıldıkları ve daha keskin anlamlar kazandıkları bir süreçle karşılaşırız. Burada, giderek yükselen bir özenlilik standartına, artan bir genellilik ve derinlik karşımıza çıkar. Her matematikçi kuşağı, bir önceki kuşağın matematiğini yeniden düşünür, geçici ve yapay ya da sahte olanları atar ve yeni koşulların gerçekliğine dayanarak onu bir kez daha yapılandırır. Tüm bu karşılıklı etkileşimli ilişkiler bütünlüğünü, bireyin içsellliğine indirgeyen ve matematik gerçekliği savsaklayan bir bilgikuramıyla açıklamak olası mıdır? Böylesi bir yaklaşım içindeki araştırmalarda değerli bilgiler üretilse de, indirgemeci yapısı nedeniyle matematiğin felsefesini inşa edecek bir süreci kaldıramaz.

Mantıkçılık

Diyelim ki, matematik belirli gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri ifade eden simgelerin biçimsel kullanımlardan meydana gelmiş olsun. Yani, matematik bunların dışında herhangi bir şey olmasın. Böyle bir yaklaşım, geleneksel olarak bilinen mantıkçılığın genel iddiasıdır. En önemli savunucuları Gottlob Frege ve Bertrand Russell’dir.

Bir biçimci veya bir sezgicinin aksine bir mantıkçı aritmetiğin temel kuramını, içeriği bizim etkinliklerimizden oldukça bağımsız bir gerçeklik olarak görecektir. Bununla birlikte bir mantıkçı için, aritmetiğin temel kuramında ifade edilen özellikleri olan ve bağımsız varlıklar olarak bulunan doğal sayılar yoktur. Aksine bu kuram, uzun bir tanımlar dizisi temelinde anlaşılmalıdır. Kuram, yalnızca çok karmaşık mantıksal bir gerçekliktir. Matematiksel gerçeklikler, herhangi bir gerçek durumu başarıyla betimlediği için gerçek değildir. Onlar, gerçeklere dayanan içerikten yoksundur. O halde, matematiksel gerçeklikler, kendi içsel yapıları ve aralarındaki ilişkiler nedeniyle gerçektir. Bu yolla mantıksal gerçeklikler, "gerçek" olur. Kısacası, matematik yalnızca mantıktır. Ancak, buradaki "mantık" kavramsal akıl yürütmedir. Belirtmek gerekir ki, mantıkçı düşüncenin kavramsal akıl yürütme yoluyla matematiğe önemli katkıları olmuştur. Bir felsefe olarak mantığa indirgenen özsel yapısı dışında, temel matematiksel düşüncelerin kuruluşuna katkısı olmuştur. Aslında matematiksel kılgı, birçok yerde mantıktır. Biçimcilik ve sezgicilikte olmadığı ölçüde, mantıkçılıkta matematiksel kılgıyla ilgili katkılar, özellikle aritmetik ve matematik çözümlemede alanlarında olmuştur. Ancak, matematiğin ilgili olduğu nesneleri es geçtiğinden mantıkçılık, matematiğin eksik bir felsefesidir.

Platonculuk

Yirminci yüzyıl, "Platoncu matematik" olarak bilinegelen çalışma ilkelerini ve ona bağlılıklarını ifade eden makaleleri kesin bir şekilde betimlemiş değildir. Ancak bu ilkelerin  inançların  başlıcalarını şöyle belirtebiliriz:

- Gerçel sayı dizgesi gibi, belirli ideal matematiksel varlıklar  büyüklükler  bulunmaktadır.

- Belirli tümdengelim biçimleri vardır.

- Eğer matematiksel bir önerme akla yatkın geliyorsa, onun doğru ya da yanlış olduğu kanıtlanabilir.

- Matematik temel olarak, matematikle uğraşan insanlardan bağımsız ve ayrı olarak vardır. Örneğin, "pi sayısı göklerdedir".

Bu felsefi yaklaşımı şöyle belirtebiliriz: Matematik, bizden bağımsız olarak var olan soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından oluşur. Bu önermeyi başka bir deyişle ifade edersek: Matematik, soyut yapılarla ilgili gerçekliklerden oluşur. Bu gerçeklikler; bizden, bu gerçeklikleri kuran mantıksal savlardan, bu savların altında yatan yapılanmalardan, bu savları ve gerçeklikleri sergileyen simgelerin biçimsel kullanımlarından bağımsız olarak bulunur, yani vardır. Matematiğin, bunların dışında oluştuğu herhangi bir şey yoktur. Bu önerme, matematiğin felsefesine platoncu bir yaklaşımdır. Şimdi, biraz daha açalım.

Bir platoncu, aritmetiğin temel kuramını harfi harfine yorumlar. Platoncu için, doğal sayılar bizden bağımsız olarak vardır. Bu bakımdan sayıların, asal çarpanlara eşsizce ayrılmaları zaten gerçektir. Buradaki "eşsizce" sözcüğü, çarpanlara ayrılmanın her bir sayı için "tek, teksel" olduğunu vurgulamaktadır. Yani herbir sayı, tek bir şekilde  eşsizce  çarpanlara ayrılır.

Bu görüşe göre matematikçi, kendi matematiksel etkinliğinden önce gelen çeşitli soyut yapılarla karşı karşıyadır. O, bu yapıları yaratmaz, aksine bulur, keşfeder. Bunlarla ilgili çalışma sürecinde, bu yapılarla ilgili giderek arıtılan bir sezgi geliştirir. Sezgisi, kendisinden önce gelenler tarafından keşfedilen gerçekliklerden oluşur. Ve bu sezgisi kendisine yeni yapılar bulmasına, eski yapılarla ilgili yeni varsayımlar yapmasına olanak verir. Bu varsayımları irdelemek için, kendisinde beliren soruları yanıtlamak üzere, yapılanmaları devreye sokar, savlarda bulunur ve yeni kavramlar tanımlar. Bu yapılanmalar giderek matematiksel gündelik dilde ifade bulur, hesaplamalarla desteklenir, daha kesin ve biçimsel duruma gelir. Öylelikle, bunlar toplumsal olarak ulaşılabilen ve iredelenebilen bir konuma varır ve matematiğin içinde geliştiği daha geniş toplumsal diyalektiğin bir parçası olur.

Yukarıda ana hatları verilen platoncu yaklaşımda öylesine bir rehavet vardır ki, gündelik yaşam paradigmasıyla hemen hemen hiç çelişmez. Bu bakımdan, matematiğin felsefesiyle hiç de ilgili olmayan birçok kişi farkında bulunmadan platoncu bir görüntü çizer. Bu tatmin edici etkisiyle platonculuk, belirleyici paradigmada yerini hep koruyagelmiştir. Çok az matematikçi veya felsefeci ya da düşün insanı onu aşmak gibi bir uğraşa girmiştir.

Sonuç Yerine

Matematiğin temelleri üzerine yoğunlaşan ve onların arayışı içinde olan farklı düşün okullarının indirgemeci karakteri bu yaklaşımlarından ileri gelmiştir. Matematiğe önyargı ile bakarsak, matematiğin temellerini arayış içinde olanlar tarafından ihmal edilegelmiş birçok yönünü açıkça görmüş oluruz. Bunlar arasında, belirleyici matematik paradigmasınca resmen onaylanmamış kanıtlar, tarihsel gelişim, matematiğin olası hataları, kanıtların dışında matematiksel açıklamalar, matematikçiler arasındaki iletişim, çağdaş matematikte bilgisayarların kullanımı, matematik öğrenimi, matematik öğreniminin felsefesi, matematik ve dil/göstergebilim ilişkisi, matematik, kültür ve toplumsal - ruhsal - ideolojik bağlantılar ve daha benzerleri yer alır. Temelleri arayan düşünsel yaklaşım, matematiksel kılgıyı temeller cinsinden açıklamaya çalıştığı için tüm bunları yok sayabilir. Buna göre, matematik etkinlikleri özünde kümelerle ilgili gerçeklerin keşfedilmesi, belirleyici matematik paradigmasınca resmen onaylanmış kanıtların irdelenmesidir. Geri kalanlar ise konu dışı üstyapılardır. Temelleri çıkış noktası kabul eden yaklaşımların matematiğin kapsamlı bir felsefesini geliştirebilmesi oldukça olanaksız görünmektedir. Matematiği, çevresinden yalıtan bir anlayış ya da anlayışlar, kendi özellerinde olumlu bir takım sonuçlar elde etseler de matematiğin felsefesine katkıları, indirgemeci bir yelpazenin solgun renkleri içinde olacaktır. Matematiğin yaşamsal kılgısını yok sayarak felsefi boyutlar getirmek çok güçtür. Matematiğin felsefesini sağlayacak olan, sorunları ve çözümleri için verileriyle işte bu kılgıdır. Günlük yaşamdan bir örnek verecek olursak, hesap makinalarını göz önüne alabiliriz. Bir açının herhangi bir trigonometrik işlevdeki değerinin makinanın ekranında görülen karşılığı, sekiz ya da dokuz basamak kesinliktedir. Burada, sekiz ya da dokuz basamaktan sonraki basamakların da kesin olması kullanılan yaklaştırmanın özelliklerine bağlıdır. Yaklaştırma, başka bir deyişle bir işlevin değerini gerçek değerine yakın bir değerle elde etmek bilgisayarın özündeki felsefedir. Bu kapsamda; işlevlerin değişim hızı, limit, yakınsama, ıraksama gibi matematiksel kavram ve nesneleri ele alıyoruz. Böylece, hem matematiksel bilginin, hem de sezgisel müdahalenin insanın gündelik nefesinde buluştuğu bir arayüzey oluşmaktadır.

Bu sahneye yeniden baktığımızda, matematiğin felsefesi canlıdır. Araştırmayı yapan matematikçi, matematikçinin felsefi eğilimleri, bunu kullanan diğer araştırmacılar, uygulayanlar, öğretmenler ve öğrenciler birlikte yaşarlar bu canlılığı. Hangimiz matematikle tanışmamış olabilir? Hangimizin, matematikle iyi kötü bir anısı yoktur? Tüm dünyada matematiğin felsefesiyle ilgili bir tartışma olmasına rağmen tıkanan bazı önemli noktalar vardır. Şöyle toparlayabiliriz:

- Çalışan matematikçilerin, matematiğin felsefi boyutlarına ilişkin ortak düşünceleri birbirleriyle ve matematik çalışmayla ilgili günlük deneyim ve kılgıyla uyuşmazlık içindedir. Birçok kılgısal sorunların ve matematiğin karşılaştığı kördüğümlerin felsefi yönleri vardır. Matematik üzerine felsefi bir söylemin iyice oturtulmamış olmasının, öğretimde, öğrenimde, araştırmada ve toplumların kılgısal işlerinde gözlenebilir zararlı etki ve sonuçları vardır.

- Matematiğin felsefesinde bugün var olan çıkmaz, "matematiğin temellerini" ele alan geniş zaman aralığında Frege ve Russell’dan Brouver, Hilbert ve Gödel’e kadar yer alan birçok derin karşıtlığın kötü sonuçlarıdır. Tek tek ele alındığında birçok şey öğreneceğimiz bu düşün akımlarında sorun, indirgemeci ve yaşamdan kopuk yapılarında olmuştur. Üstelik gelenekselleşmiş bir etkileri ve düşünce dönüşümlerini teşvik etmeyen özellikleri vardır. Artık, biçimcilik, sezgicilik, mantıkçılık gibi "okulların" ötesine geçebilmektir. Onların tarihine yeniden geri dönerek, matematik ve felsefenin nasıl ele ele verdiklerinin köklerine inmeliyiz.

- Platonculuk ve biçimciliğin aksine, eğer matematiği kuşku duyulmaz gerçekliklerin kaynağı olarak kurmaktan vazgeçersek, matematiğin doğasını, insanın zihinsel etkinliğinin belirli bir çeşidi olarak ele alacağız demektir. İnsanlar tarafından yaratılan bir düşünceler dünyası vardır. Bu dünya onların paylaşılan bilinçlerinde bulunmaktadır. Özdeksel nesnelerin kendi özelliklerine sahip olduğu gibi, bu düşüncelerin de, nesnelce kendilerinin olan özellikleri vardır. Kanıtın ve karşıkanıtın yapılandırılması, bu düşüncelere ait özelliklerin keşfedilmesindeki devingen yöntemdir. Bu da, matematik denen bilgi dalıdır.

Kaynakça

- Science and Modern World, New American Library, 25, New York (1948)

- Goodman, N., "Mathematics as an Objective Science", American Mathematical Monthly, 86, 540, (1979).

- Davis, J. D., "Fidelity in Mathematics Discourse: Is One and One Really Two?", American Mathematical Monthly, 79(3), 252-263, (1972).

- Hersh, R., "Fresh Brezees in the Philosophy of Mathematics", American Mathematical Monthly, August - September, 590, (1995)