Albert EİNSTEİN & Kurt GÖDELYirminci yüzyıldaki hiçbir matematik teoremi, Gödel'in eksiklik teoremleri kadar, matematikçilerin yanında matematikçi olmayanların da ilgisini çekmemiştir. Eksiklik teoremlerinin bu kadar tartışılması, kuşkusuz, Gödel'in sonuçlarının derinliğine ve basit olarak ifade edilebilmelerine bağlıdır. 1931 yılında yayınlanan bu çalışmalar o kadar ünlüdürler ki Gödel'in 1931 yılından sonra yaptığı çalışmalar, 1931'in gölgesinde kalmıştır denebilir. Gödel'in matematik felsefesi ile matematiksel çalışmalarının arasındaki ilişkilerin iyi bilindiğini söylemek zordur. Gödel, 1940'lı yıllarda seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezi üzerine çalışmalarını yapar, bir süre fizikle ilgilenir ve zamanla ciddi anlamda felsefeye yönelir. 1944 yılında yayınladığı “Russell'ın matematiksel mantığı”, Gödel'in felsefeye dönüşünü işaretler. Fizik konusunda, Einstein'ın kozmoloji kuramları ve zamanda yolculuk üzerine incelemeler yapar. 1958 yılından sonra, eski çalışmalarını yeniden gözden geçirmekle ve felsefeyle meşgul olur. Gödel, çok eskiden beri sürdürdüğü Kant ve Leibniz incelemelerini sürdürür ve özellikle 1959'dan sonra Husserl'in felsefesine yoğunlaşır.
Bu
yazıda, Gödel'in matematiksel mantık çalışmalarından çok, felsefî
yönleri ve matematik felsefesi incelemelerine yoğunlaşacağım. Yazının
ilk kısmında, Gödel'in hayatına kısaca değineceğim. Daha sonra,
Gödel'in eksiklik teoremleri, platonculuk, süreklilik hipotezi ve
aksiyomatik sistem hakkındaki felsefî görüşlerine eğileceğim. Son
olarak, Gödel'in Husserl ile ilişkisinden ve Wittgenstein'ın Gödel
eleştirilerinden bahsederek bitireceğim.
Hayatı ve Çalışmaları
Kurt
Gödel, 28 Nisan 1906 tarihinde, Avusturya-Macaristan imparatorluğunun
Brünn (şimdiki Çek Cumhuriyetinde Brno) şehrinde doğmuştur [1]. Gödel
küçük yaşta her şeyi sorguladığı için ailesinde Herr Warum
(“Bay Niçin”) olarak isimlendirilmiştir. Gödel, sık sık iddia edilenin
aksine, Yahudi kökenli değildir. “Eski” bir Katolik olan babasının
değil annesinin inancı izlenerek, Alman Lutheran kilisesinde vaftiz
edilmiştir. Gödel'in yaşamı boyunca hiçbir dini cemaatle ilgisi
olmamıştır. Buna rağmen, Gödel kendisini inanan biri olarak tanıtır;
panteist değil teisttir, kendi ifadesiyle, “Spinoza'yı değil, Leibniz'i
izler”.
Gödel
1924 yılında Viyana Üniversitesine geldiği zaman fizik çalışma
düşüncesi vardı. Philip Furtwangler'den aldığı matematik dersleri ile
H. Gomperz'den aldığı felsefe tarihi derslerinden etkilendi. Felsefi
bir düşünce olarak platonculuk ile bu derste tanıştı. 1926 yılında
matematik bölümüne geçti. Muhtemelen 1925 yılında, M. Schlick'in
matematik felsefesi üzerine seminerine katıldı, bu seminerde Russell'ın
Matematiksel Felsefeye Giriş adlı eseri incelenmekteydi. 1926
yılında, hocası Hans Hahn'ın yönlendirmesiyle Viyana Çevresinin
toplantılarına katılmaya başladı. Bu çevrenin amacı, bilgiyi mantıksal
ve deneysel yollarla incelemek, felsefeyi bilimsel kılmak ve metafiziği
reddetmekti. Toplantılarda sessiz bir katılımcı olan Gödel bu çevrenin
görüşleriyle hiçbir zaman uyuşmadı ve zamanla o çevreden uzaklaştı.
Yine de, o çevrenin ileri gelenlerinden Carnap gibi kişilerle şahsi
dostluğunu sürdürdü.
Gödel,
1928 yılından itibaren matematiksel mantık üzerine yoğunlaşmaya
başladı. Gödel, Brouwer'ın 1928 yılında Viyana'da yaptığı konuşmaları
dinlemiş ve bu konuşmalardan etkilenmiştir. Gödel'in sonraki
çalışmalarını etkileyen bir başka husus, Carnap'ın 1928-1929 yıllarında
Viyana Üniversitesinde “Aritmetiğin Felsefî Temelleri” adı altında
metamantık üzerine verdiği dersler olmuştur. Gödel, Carnap'ın dersinde,
Russell ve Hilbert'in çalışmalarını okumuştur. Gödel'e bu dönemde tesir
eden bir başka husus, Hilbert'in 1928 yılında Uluslararası
Matematikçiler Kongresinde yaptığı ve 1929 yılında basılan
konuşmasıdır. Gödel 1929 yılında, Hilbert'in çalışmalarının devamı
olarak, eksiksizlik üzerine doktora tezini sunar. Bu tez
sayesinde, Viyana Üniversitesi'nde matematik alanında doktorasını 1930
yılında tamamlar. Gödel, Hilbert'in çalışmalarını devam ettirirken,
kendisini dünyaca ünlü kılacak beklenmedik bir sonuç keşfeder. Eksiklik
teoremi olarak bilinecek bu keşfi 1931 yılında basılır. Gödel'in daha
sonra ifade edeceği gibi, bu eksiklik sonucu, aslında Skolem'in 1922
yılında yaptığı çalışmaların “bayağı” bir sonucudur fakat o devrin
epistemolojik ve felsefî “önyargıları”, Skolem ve Hilbert ile birlikte
diğer matematikçilerin bu sonucu görmesini engellemiştir. Gödel kendi
platonculuğu ile eksiklik teoreminin ilişkili olduğunu iddia etmiştir.
Gödel eksiklik çalışmasını daha sonra Viyana Üniversitesine sunar ve Privatdozent
olarak ders verme hakkı kazanır. 1940'ta Amerika'ya göç edinceye kadar,
orada az sayıda olsa da ders verir ve bu süre zarfında üç defa
Amerika'ya ziyaretler yapar.
Bu
ziyaretlerin ilkinden sonra Avrupa'ya dönünce, sinir krizi geçirir ve
sanatoryuma yatırılır. Sağlık sorunlarından dolayı, Princeton'daki
Institute of Advanced Studies'in (IAS) davetini ertelemek zorunda
kalır. 1935 yılının Ekim ayında IAS'e gider ama bir ay sonra depresyon
ve fazla çalışmadan dolayı istifa eder. Sanatoryuma geri döner ve orada
bir süre daha geçirir. Viyana'daki derslerine ancak 1937 yılının
baharında başlar. 1938 yılında Adele ile evlenir, Kurt Gödel'in
ailesinin bu evliliğe Adele'nin daha önce evlenip boşanmış olması ve
dansöz olması yüzünden karşı çıkması sebebiyle Kurt ve Adele bu
evliliği uzun süre beklemek durumunda kalmışlardır. Gödel, evlendikten
kısa bir süre sonra Amerika'ya gittiği için, evliliklerinin ilk yılında
eşiyle ayrı yaşar.
Avusturya'nın
Nazi Almanya'sına katılması, özellikle Yahudi kökenli olan
entelektüellerin Viyana'yı terk etmeleri ile sonuçlandı. Gödel
apolitikti ve dünyada olup bitenlerden çok kendi çalışmaları ile
ilgileniyordu. Fakat Gödel zayıf bir bedeni olduğunu düşündüğü halde,
askere alınmak için uygun bulundu. Ayrıca, üniversitedeki işinin devam
etmesi için, yeni Nazi yönetimine başvurması gerekiyordu. Muhtemelen
askere çağrılacak olan ve iş durumu belirsizlikler taşıyan Gödel eşiyle
birlikte 1940 yılında Amerika'ya göç eder ve hayatı boyunca bir daha
Avrupa'ya dönmez.
Gödel,
altı veya yedi yaşında iken, ateşli romatizma geçirir; her ne kadar
hastalıktan tam olarak kurtulsa da, hastalık sonucu daimi kalp
rahatsızlığı olduğuna inanır. Hayatı boyunca sağlık sorunlarıyla
boğuşur; doktorlara danışır fakat onların tavsiyelerine güvenmez.
1940'larda ülserden dolayı ameliyat olması gerekir fakat o sürekli
geciktirir bunu, sonunda kan nakli yapılarak hayatî tehlikeyi atlatması
sağlanır. Hayatının son on yılında, Gödel'in eşi iki defa kalp krizi
geçirir ve bakımevine konur. Eşi bakımevine konduktan sonra Gödel'de
depresyon ve paranoya belirtileri görülür. Yemeklerine zehir
konabileceğini düşündüğü için, kendini açlığa mahkûm eder. Sonunda
hastanelik olur ve hastanede kısa bir süre sonra, resmi ölüm
belgesindeki kayıtlara göre, “kötü beslenme ve gıdasızlıktan
kaynaklanan zayıflık”tan 14 Ocak 1978 tarihinde ölür. Yazının bir
sonraki bölümünde Gödel'i dünyaca ünlendiren eksiklik teoremlerine
değineceğim.
Eksiklik Teoremleri
19.
yüzyılın sonunda ve 20. yüzyılın başında, küme kuramında paradoksların
ortaya çıkması üzerine, matematikçiler ciddi kaygılar duymaya
başlamışlardı. Devrin öncü matematikçisi David Hilbert (2004)
paradokslarla karşı karşıya kalmanın getirdiği krizin tahammül edilemez
olduğunu düşünüyordu: “Bir düşünün herkesin öğrendiği, öğrettiği,
gerçekliğin ve kesinliğin mükemmel örneği olan matematiğin kullandığı
tanımlar ve tümdengelim yöntemleri saçmalıklara yol açıyor. Eğer
matematiksel düşünce kusurlu ise biz kesinliği ve gerçekliği nerede
bulacağız?” (s. 128)
Hilbert,
matematikte bilinemeyecek diye bir şey olmadığını göstermek ve
matematiği çelişkilerden kurtarmak amacındaydı. Bu amaçla, metamatematik
olarak adlandırılan yeni bir alan ortaya attı. Metamatematik,
matematiğin yöntemlerini matematiğin kendisine uyguluyordu. Buna göre,
matematiğin önermeleri sembollerin toplamı olarak ve çıkarım yöntemleri
ise sembolleri maniple etmeye yarayan bir tür mekanik kurallar olarak
sunuldu.
Gödel
kendi
eksiklik teoremlerini Hilbert'in metamatematik tekniklerini
kullanarak ortaya koyacaktı. Gödel elde ettiği sonucu, 1930 yılında
Könisberg'deki bir konferanstaki konuşmasında ilk defa şöyle
duyurmuştur: “Principia mathematica yardımıyla ifade edilebilen öyle
matematiksel problemler vardır ki Principia mathematica'daki mantıksal
araçlarla çözülemezler. [...] Bu gerçek şöyle de ifade edilebilir:
Principia mathematica üstyapı olarak eklenmek üzere Peano aksiyom
sistemi, sözdizimsel (syntactically) olarak eksiktir.” (Gödel, 1930: s.
29)
Bu
sonucu şöyle de ifade edebiliriz: Belirli bir miktarda aritmetiğin
uygulanabildiği herhangi bir tutarlı formel (biçimsel) sistem eksiktir;
yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle temel bir aritmetiksel önerme
ortaya konabilir ki ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu bu sistem
içerisinde ispatlanamaz. Bu sonuçtaki eksiklikten kasıt karar
verilemezliktir; tutarlı bir sistemin aksiyomlarıyla bir ifadenin karar
verilemez veya çözümsüz olması o sistemi eksik kılar.
Bu
sonuçta felsefî açıdan ilginç husus, Gödel'in Hilbert'i izleyerek,
doğruluk/hakikat yerine ispat nosyonunu ikame etmesi ve bu ikamenin
sınırlılığına işaret etmesidir. Yani, eldeki formel sistem tutarlı
olmak üzere, bu sistem içerisinde öyle doğru ifadeler elde ederiz ki bunların ispatı
verilemez. İlerde de göreceğimiz üzere, Gödel'i hayatı boyunca felsefî
olarak meşgul edecek konulardan biri, matematiksel doğruluk/hakikat ile
formel sistemlerdeki ispat arasındaki gerilimdir.
Şimdiye
kadar ifade ettiğimiz sonuç birinci eksiklik teoremi olarak bilinir.
Gödel'in elde ettiği ikinci eksiklik teoremine göre, Principia mathematica
ve Peano aksiyom sistemi ile elde edilen bir sistemin tutarlılık ispatı
sistem içerisinde formel olarak verilemez (Gödel, 1931). Burada
formellikten kasıt Hilbertçi tarzdır. Aslında ikinci teorem, birinci
teoremin bir sonucudur. Şöyle ki: Karar verilemez aritmetiksel
önermelerin olduğu eksik bir sistemde, o sistemin tutarlılığına ilişkin
bir önerme bahsi geçen karar verilemez önermelerden biridir. Yani
eldeki sistemin tutarlılığına ilişkin bir ispat öyle mantıksal çıkarım
yollarıyla elde edilebilir ki bu yollar o sistem içerisinde
formelleştirilemezler [2]. Gödel, o matematiksel hakikatlerin bizden
bağımsız olarak var olduğunu ve kendi eksiklik teoremine de bu
düşüncesi yardımıyla vardığını iddia ediyordu. Mevcut formel
matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bu
sistemlerin elde edebildiğinden çok daha geniştir. Şimdi, Gödel'in
matematik hakkındaki felsefî görüşlerini ayrıntılı olarak açıklamaya
çalışalım.
Gödel'in Platonculuğu/Realizmi
Gödel'in
ilk geniş felsefî değerlendirmesi olan, 1944 yılında yazdığı
“Russell'ın matematiksel mantığı” başlıklı ünlü yazısında, platonculuğu
veya realizmi açıkça savunur. Bu görüşe göre, mantık ve matematiğin
nesneleri gerçek nesneler gibi “kavranabilirler”, yani bizim
“tanımlarımız ve inşalarımızdan bağımsız olarak vardırlar” (Gödel,
1944: s. 128). Gödel'e göre, matematiksel nesnelerin varlığını kabul
etme, fiziksel nesnelerin varlığını kabul etme kadar “meşru”dur.
Gödel'in platoncu/realist görüşlerini Russell üzerine bir değerlendirme
yazısında ifade etmesi, elbette, bir tesadüf değildi. Gödel'e göre,
Russell zamanla görüşlerini yumuşatmış olsa da, realist görüşlere
sahipti. Gödel yazısında Russell'ın ünlü bir ifadesini alıntılar: “Her
ne kadar daha soyut ve genel özelliklerle olsa da mantık, zooloji
kadar, gerçek dünya ile ilgilenir” (s. 120). Russell'a göre, fiziğin
kanunları ile “duyu algıları” arasındaki ilişki gibi, matematiğin
aksiyomları ile mantıksal kanıtlar arasında bir ilişki vardır. Doğa
kanunları, bir başlarına besbelli/sarih olmayabilirler fakat duyu
algılarının ortaya çıkmasını veya anlaşılmasını sağlarlar. Benzer
şekilde, matematiğin aksiyomları bir başlarına besbelli/sarih
olmayabilirler fakat sonuçları itibariyle gerekçelendirilebilirler.
Gödel, kimi matematiksel problemlerin uzun yıllardır çözülemediği
olgusunu aksiyomların yetersizliğine bağlar; yani farklı aksiyomlar
bulunursa, bu sorular muhtemelen çözülecektir (s. 121). Gödel, bunu
ifade etmekle, matematiğin “mutlak kesinlik” özelliğinin sarsılmış
olacağının farkındadır ki zaten bu sarsılmanın, temeller krizi ile
bunun büyük ölçüde zaten gerçekleştiğini ifade eder.
Birazdan
genişçe ele alacağımız gibi, Gödel, burada Russell üzerinden dolaylı
olarak ifade ettiği, özellikle birbiriyle ilgili şu iki görüşünü
ilerleyen yıllarda geliştirecektir: 1) Matematiğin gerekçelendirilmesi
fiziğin gerekçelendirilmesine benzer. 2) Aksiyomlar bir başlarına
besbelli/sarih olmadıkları için, sonuçlarına bakılarak, aksiyomlar
hakkında fikir yürütülebilir. Bu görüşlerden birincisini Gödel ile
Husserl arasındaki ilişkiyi incelerken ayrıntılı ele alacağım. Gödel,
bu görüşlerden ikincisini “Cantor'un Süreklilik Hipotezi Nedir?”
başlıklı yazısında genişçe ele alır. Gödel'in küme kuramı ve modern
aksiyomatik sistemler üzerine felsefî görüşlerini yayınlandığı
muhtemelen en özlü incelemesi olan bu yazıya değinelim.
Süreklilik Hipotezi ve Gödel
Hatırlatmak
gerekirse Cantor'un ortaya attığı süreklilik hipotezine göre, doğal
sayıların kümesinden büyük, reel sayıların kümesinden küçük, arada bir
sonsuz küme yoktur [1]. Matematikçileri ortaya atıldığı günden beri
uğraştıran bu hipotez, Hilbert'in 1900 yılında Paris'te düzenlenen
Uluslararası Matematikçiler Sempozyumu'nda sunduğu meşhur 23 problemden
birincisi olarak tarihteki yerini almıştır. Sorunun matematiksel olarak
bir türlü çözülememesi, Gödel'in dikkatini küme kuramı ve aksiyomatik
yöntem hakkında felsefi bir analize yöneltmiştir. Gödel, 1947 yılında
“Cantor'un Süreklilik Hipotezi Nedir?” adlı makalesinde konuyu
matematiksel ve felsefî olarak inceler; ayrıca 1963 yılında sözkonusu
makaleye önemli bazı eklemeler yapar ve makale 1964 yılında basılır.
Süreklilik
hipotezinin matematiksel olarak çürütülemeyeceğinin ispatı daha önce
bizzat Gödel tarafından verilmişti. Gödel, makalesinde hipotez için üç
ihtimal bulunduğunu belirtir: hipotez, (aksiyomların tutarlı olduğu
kabul edilerek) doğrulanabilir, çürütülebilir ya da karar-verilemezdir.
Gödel hipotezin matematiksel olarak karar-verilemez olduğunu öngörür.
Gödel'in 1963 yılında ifade ettiği bu öngörüsü, makalesinin 1964
yılında yayınlanmasından önce doğrulanmıştır. 1963 yılında Paul Cohen
hipotezin kanıtlanamayacağını göstermiştir. Sonuçta, Cantor'un ortaya
attığı süreklilik hipotezi, bildiğimiz küme kuramının aksiyomları ile
ne yanlışlanabilir ne de doğrulanabilir. Teknik olarak ifade edersek,
süreklilik hipotezi, küme kuramının bildik aksiyomlarından bağımsızdır.
Hipotezin
karar-verilemez olması “anlamsız” olduğu anlamına mı gelir? Gödel
matematiksel ve epistemolojik nedenlerden dolayı, hipotezin anlamını
yitirdiği iddialarına karşı çıkar. “Dikkate
alınan aksiyomların sistemi hipotetik-tümdengelimsel bir sistem olarak
yorumlanırsa [...] karar verilemezliğin bir kanıtıyla sorunun anlamını
yitirdiği söylenebilir” der Gödel (2004, s. 235). Dolayısıyla,
hipotetik-tümdengelimsel olan aksiyomatik bir sistem içinde bir sorunun
karar-verilemez oluşu, o sorunun sadece eldeki aksiyomatik sistemde
anlamsız olduğu sonucunu verir denebilir; fakat bu o sorunun mutlak
anlamda anlamsız veya karar-verilemez olduğu demek değildir. Bir başka
deyişle, burada Gödel, sorunun karar-verilemez oluşunun eldeki sisteme
göre değişen bir şey olduğuna dikkat çekerek, platonculuğunu konuşturur
ve süreklilik hipotezinin mevcut hipotezlerle karar-verilemez oluşunun
sadece eldeki mevcut aksiyomların yetersiz oluşunu gösterdiğini
belirtir. Dolayısıyla, yapılması gereken şey, eldeki anlamlı
soruyu çözebilecek daha güçlü yeni aksiyom sistemlerini araştırmaktır.
Gödel, böyle bir sistem bulunduğunda (süreklilik hipotezinin kabulünün
topolojide pek makul olmayan sonuçlar doğurması gibi matematiksel
nedenlerden dolayı) süreklilik hipotezinin çürütüleceğine inandığını
söyler.
Süreklilik
hipotezinin bir “anlamı” olduğunu kabul edelim, yeni aksiyomatik
sistemleri nasıl bulacağız ve daha önemlisi bulduğumuz sistemin
aradığımız “o” sistem olduğundan nasıl emin olacağız? Gödel
(2004) şöyle der: Aksiyomların “doğruluğu hakkında olası bir karar
diğer bir yolla elde edilebilir yani tümevarımsal olarak ‘başarı'sı
üzerinde çalışarak elde edilebilir. Burada başarı, sonuçlardaki,
özellikle de ‘doğrulanabilir' sonuçlardaki verimliliktir” (s. 228). Gödel'in
bu iddiasına göre, elde edeceğimiz aksiyom sistemlerinden hangisi en
iyi sonuçlar verirse, onu kullanacağız. Gödel bu şekilde kurulan bir
teoremin, en azından, iyi-kurulmuş bir fiziksel kuramla aynı anlamı
taşıdığına inanır. Gödel, aksiyomların matematik yanında fizikteki
yararlılıklarına da bakılabileceğini söyler. Burada ilginç olan şey, Gödel'in
önerdiği bu yaklaşımın, deneysel bir ölçütü matematiğin temellerine
oturtmasıdır. Gödel gibi bir platoncunun böyle bir deneysel yöntem
önermesini nasıl anlamalı? Daha önce değindiğimiz gibi, platoncular,
matematiğin fiziksel dünyadan, matematikçiden, zamandan, mekândan
bağımsız bir gerçekler dizgesi olduğuna inanırlar. Aynı yazıda, Gödel
(2004) platonculuğunu ünlü bir pasajında şöyle ifade eder:
Yine
de duyu tecrübelerimizden uzaklıklarına rağmen aksiyomların kendilerini
bize doğru gibi kabul ettirmeleri olgusunda görüldüğü üzere, küme
kuramının nesnelerinin bir algısına benzeyen bir şeye de sahibiz. Bu
tür bir algıya yani matematiksel sezgiye duyu algısından daha az
güvenmemiz için bir neden göremiyorum. Fiziksel kuramlar oluşturmamızı
sağlayan duyu algıları, gelecekteki duyu algılarının bu kuramlarla
uyumlu olmasını beklememize neden olur dahası şu an için kararsız olan
bir sorunun bir anlamı olduğuna ve gelecekte karar verilebileceğine
inanmamızı sağlar. Matematikteki küme-kuramsal paradokslar, fizikteki
duyu yanılgılarından daha çok sıkıntılı değildirler. Cantor'un
süreklilik hipotezi türü problemlerin bir çözümüne yol açacak, yeni
matematiksel sezgilerin tamamen mümkün olduğu daha önce belirtilmiştir.
(s. 236)
Özetle,
Gödel'e göre, aksiyomatik sistem “olası” doğruluk sunar fakat
aksiyomların doğruluğu kendisini bize “dayatır”, fizikteki duyu
algıları kadar güvenilir olan bu matematiksel sezgiyi inkâr etmemizin
sağlam bir dayanağı yoktur. Gödel'in işaretlediği matematiksel ve
fiziksel üretkenliklerine göre aksiyomları seçme yöntemi, hiç kuşku yok
ki, matematiğin mutlak doğru oluşuna gölge düşüren bir şeydir. Gödel
gibi bir platoncunun bunu savunmasını şöyle anlayabiliriz: Gödel'in
derdi matematiğin mutlaklığına meydan okumak değildir; fakat
matematiğin mutlak olması demek matematikçilerin bu mutlak doğruları
elde edebileceği veya hatasız oldukları anlamına gelmez. Gödel,
bildiğimiz formel aksiyomatik sistemlerin sınırlarına işaret ederek,
bizim dışımızdaki nesnel varlık ve anlamları sezgilerimizle
görebileceğimizi ifade ediyordu. Aslında bu felsefî görüşler, Gödel'in
eksiklik teoremlerinin bir sonucuydu. Yani, buna göre, formel
aksiyomatik sistem matematiksel doğruluğu garantileyen bir yöntemdir
fakat, Gödel'in gösterdiği gibi, bu yöntemin bir diyeti vardır. Bu
diyet, sezgisel ve informel olarak elde edilebilen kimi matematiksel
“hakikatlerin” formelleştirme sonucunda anlamını yitirmesidir.
Husserl ve Gödel
Öyle
anlaşılıyor ki Gödel kendi görüşleri ile Husserl'in görüşleri
arasındaki benzerliği fark ettikten sonra Husserl'in yazdıklarına
yoğunlaşmıştır. Gödel, matematiğin nesnelerinin varlığının
gerekçelendirilmesi ve realizm ile aksiyomlar hususundaki görüşlerini
1930'lu ve 1940'lı yıllarda olgunlaştırmış; 1959 yılından sonra ise
Husserl'in çalışmalarına eğilmiştir. Bilindiği üzere, Husserl
matematikçi olarak eğitim almış ve bu alanda doktora yapmıştı. Doktora
sonrası, kısa bir süre ünlü matematikçi Weirstrass'ın asistanlığını
yapmış, Brentano'nun felsefe derslerine katılmış, daha sonra aritmetik
ve mantık felsefesi üzerine araştırmalarını derinleştirmiştir.
İlerleyen yıllarda fenomenolojisini geliştirmiştir.
Gödel'in
matematik nesnelerinin varlığı ile fiziğin nesnelerinin varlığı
arasında yaptığı benzerlik, Husserl'in fenomenolojisi izlenerek de
görülebilir. Daha önce değindiğimiz üzere, Gödel, matematiksel
nesnelerinin var olduğunu “dayatan” matematiksel sezgiye güvenmemiz
gerektiğini doğrudan söylemiyor, matematiksel sezgiye, fiziksel
nesnelerin var olduğunu söyleyen duyu algısı kadar güvenmemiz
gerektiğini söylüyor. Benzer şekilde, matematiksel nesnelerin
özelliklerinin nesnel olduğunu doğrudan söylemiyor, onların fiziksel
nesneler kadar nesnel olduğunu söylüyor. Bu, Gödel'i Husserl'e
yakınlaştırıyor çünkü Husserl de “idealist” devresinde hem fiziksel
nesnelerin hem de matematiksel nesnelerin nesnel olduğunu iddia ediyor
(Føllesdal, 1995b). Husserl'e göre, matematiksel nesneleri tecrübe
etmek ile fiziksel nesneleri tecrübe etmek arasında ilkesel bir fark
yoktur (Føllesdal, 1995a). Dahası, fenomenolojiye göre, biz bir nesneyi
bütün olarak algılamayız, onu kısmen algılarız. Örneğin, karşımızda
duran bir masanın görmediğimiz bir tarafı vardır. Bundan dolayı, nesne
hakkındaki bilgimiz eksiktir ve nesnenin kendisi bizim tecrübemizi
aşkındır. Husserl'e göre, hem soyut hem de somut nesneler aşkındır.
Matematiksel ve fiziksel nesnelerin varlığına ilişkin bir soruşturmada,
her iki durumda da, esas olan şey, nesnelerin varlığı için kanıtlarımız
ve teyit prosedürlerimizin olup olmadığıdır (Tieszen, 1992). Sayılar
ile kümelerin ve geometrinin nesnelerinin kavramları, fiziğin
kavramları gibi zamanla tortulaşmış ve yaşam dünyamıza katılmışlardır.
Gödel'i
Husserl'in fenomenolojisine yakınlaştıran şey, belki de, özellikle
Kant'tan beri filozofları meşgul eden, realizm ve idealizm arasındaki
ilişkidir. Husserl'in algı fenomenolojisi analizlerine göre, algısal
nesneleri biz yaratmıyoruz veya inşa etmiyoruz, fakat biz bu nesneler
hakkındaki bilgilerimizi inşa ediyoruz (Tieszen, 1992). Gödel de
yukarıda değindiğimiz üzere, matematiksel bilginin bizim dışımızda
olduğunu düşünüyor fakat aksiyomatik sistem inşa etmekle o bilgileri
olası da olsa elde edebileceğimizi söylüyordu. Gödel ile Husserl
arasındaki başka bir benzerlik, her ikisinin de kanıtın derece derece
olduğunu ve dolayısıyla bizim nesneler hakkındaki tecrübelerimizin
yanıltıcı olabileceğini düşünmeleridir (Tieszen, 1992). Buna göre,
matematikçinin elde ettiği matematiksel bilgi pekâlâ yanılabilirdir.
Sonsuz kümelerin nesneleri ile aritmetiğin basit nesneleri hakkındaki
kanıtlarımız arasında bir derece farkı olabilir.
“Felsefe
Işığında
Matematiğin Temellerindeki Modern Gelişme” başlıklı yazısında
Gödel (*1961/?) [4], Husserl'in adını açıkça anar ve fenomenolojiden
övgüyle söz eder. Yazı, felsefî kavramlar aracılığıyla, matematiğin
temellerine dair araştırmaları, muhtemel bir Weltanschauungen
veya felsefî dünya görüşü içerisine oturtmayı amaçlar. Gödel (*1961/?),
dünya görüşlerini metafizikten veya dinden uzaklıklarına göre bir
cetvel üzerine yerleştirir. En solda, yani metafizikten en uzakta,
şüphecilik, materyalizm ve pozitivizm yer alır; en sağda ise,
sipirütüalizm, idealizm ve teoloji yer alır. Materyalizme göre her şey
anlamsızdır, ölüm mutlak yok oluştur; teolojiye göre ise her şeyin bir
anlamı vardır. Gödel, felsefenin Rönesans'dan beri sağdan sola doğru
kaydığını belirtir. Gödel yazısını, matematiğin a priori doğası gereği
sağda olması ile felsefede sola doğru gerçekleşen hareketlenme arasında
doğan gerilim üzerine odaklar.
Gödel'e
göre, matematik uzun bir süre felsefede gerçekleşen hareketlenmeden
etkilenmedi ta ki 20. asrın başında matematikte ortaya çıkan
çelişkilere kadar. Gödel'e göre, bu çelişki ve paradokslar şüpheci ve
ampirisistler tarafından matematikte sol bir başkaldırı için
abartılmıştır. Gödel'e göre, bu paradokslar matematiğin merkezinde
değil matematiğin felsefeye doğru kenarlarında ortaya çıkmıştır ve
zaten paradokslar daha sonra çözülmüştür. Buna rağmen, matematikçiler
bu sol dalgaya kendilerini öyle bir kaptırdılar ki matematiğin, eskiden
beri anlaşıldığı gibi, bir doğruluk sistemi olduğunu inkâr ettiler. Bu
inkâr, matematiği tecrübî bir bilime dönüştürdü. Buna göre, elde
ettiğimiz bir teoremi ispat ettiğimiz halde, teoremi çürüten bir
karşı-örnek bulma ihtimalimiz vardı çünkü elimizdeki aksiyomlar
tutarsız olabilirdi. Gödel'e göre, “bu nihilist sonuçlara” (s. 379)
karşı matematik cephesinden Hilbert'in öncülüğünde bir akım ile, hem
zamanın felsefî ruhuna hem de geleneksel matematiğin ruhuna uygun bir
arayış başladı. Hilbert, zamanın sol ruhuna uygun olarak, matematiğin
hipotetik bir doğruluk değerini kabul etti yani o da sezgi, metafizik
ve hakikati inkâr etti. Öte yandan, Hilbert, matematikçilerin
geleneksel sağ ruhuna uygun olarak, ispatın tutarlı bir temele
dayandırılabileceğini ve her sorunun bir cevabı olduğunu iddia etti.
Fakat Gödel'e göre, matematiğin sağa yakın ruhunun sola yakın bir
felsefe ile kurtarılamayacağı ortaya çıkmıştır; doğru tutum, hakikatin
ortada bir yerde olduğunu veya sağ ile solun bir birleşiminden
oluştuğunu kabul etmektir. Hilbert bunu yapmaya çalıştı ama başarısız
oldu. Gödel, fenomenolojiyi böyle bir “orta yol” olarak ortaya atar.
Gödel'e göre, yapılması gereken şey, matematiksel kavram, nesne ve
aksiyomların, tanımlarını vermeksizin, anlamlarını netleştirmektir.
Gödel'e göre, fenomenolojiyi kullanarak, matematiksel kavramları
kullandığımız zamanlardaki eylemlerimize dikkatimizi çevirerek, bu
kavramların anlamlarını netleştirmeliyiz. Fenomenoloji sayesinde
şimdiye kadar bizim için meçhul olan temel kavramları kavrayabiliriz.
Gödel,
fenomenoloji hakkında görüşlerini yazdıktan sonra, Husserl ile Kant
arasındaki ilişkiye değinir. Gödel'e göre, Kant, iki asır boyunca hemen
hemen bütün felsefî yaklaşımlar üzerinde etkisini ciddi anlamda
hissettirmişti fakat Kant'ın ruhuna en sadık yaklaşım fenomenolojidir.
Kant, hem idealizmin metafiziğe dönüşmesine hem de metafiziğin
pozitivistçe tamamen inkâr edilmesine mesafeliydi. Gödel yazısını şu
ifadelerle bitirir: “Eğer yanlış anlaşılmış bir Kant felsefede (ve
dolaylı yoldan bilimde) onca ilginç şeye yol açtıysa, kim bilir doğru
anlaşılmış bir Kant'tan [daha] ne kadar çok şey bekleyebiliriz?” (s.
387).
Wittgenstein: Gödel'i “es geçen” filozof
Michael
Dummett (1959), Wittgenstein'ın elimizdeki notlarında yer alan Gödel
hakkındaki yorumları için “düşük kaliteli” ve “kesin yanlışlar
içermektedir” (s. 491) demektedir. Georg Kreisel ise, Wittgenstein'ın
Gödel hakkındaki yorumları için “parlak bir zekânın şaşırtıcı derecede
önemsiz bir ürünü” der (aktaran Wrigley, 1977, s. 50). Her ne kadar
Wittgenstein'ın Gödel'i yanlış anladığı iddia edilse de, Shanker'e
(1988) göre, Wittgenstein'ın yorumları yanlış anlamadan veya bilmeden
kaynaklanmamaktadır. Wittgenstein'ın Gödel'in sonuçlarını inkârını
anlamak için, onun felsefe ve matematik hakkındaki görüşlerine bakmamız
gerekiyor. Wittgenstein için, felsefe ve matematiğin birbirine sunacağı
hiçbir şey yoktur; hiçbir matematiksel sonuç, felsefî bir şey sunmaz
(Dummett, 1959). Wittgenstein'a göre, felsefî bir problem felsefi
yollarla çözülebilir (Shanker, 1988). Böylece, Wittgenstein için,
Gödel'in teoremi matematik olduğu için matematiğin temellerine dair bir
şey sunamaz. Wittgenstein için, Gödel'in sonucunun hiçbir epistemolojik
değeri yoktur ve platoncu yorumlarının hiçbir anlamı yoktur. Zaten,
Wittgenstein için, matematikte anlam diye bir şey yoktur, her şey bir
algoritmadır (Wrigley, 1977). Matematik bir calculus'tur yani
hesaptır. Kimi kuralların birleşiminden ibaret olduğu için matematik
içinde epistemolojik veya ontolojik sorunlar olamaz. Matematik aslında
hiçbir şey hakkında değildir. Matematik tamamen hesap olduğu için
metamatematik diye bir şey olamaz. Metamatematik denen şey başka bir
çeşit matematiktir ve bundan dolayı da metamatematik matematiğin
temelleri hakkında hiçbir şey sunmaz (Shanker, 1988). Böylece,
Wittgenstein, hem Hilbert hem de Gödel'in iddialarını reddetmiştir.
Gödel
öğrenci iken toplantılarına katıldığı Viyana Çevresinden Wittgenstein'ı
sık sık duymaktaydı. Gödel hem Viyana Çevresinin metafiziği dışlamasına
hem de, benzer şekilde, Wittgenstein'ın matematikten anlam ve hakikati
dışlamasına sıcak bakmıyordu. Öte yandan, her ne kadar Gödel'in
sonuçlarına tekrar tekrar dönse de Wittgenstein, “amacım Gödel'in
ispatı hakkında konuşmak değil, onu atlamaktır [es geçmektir]” demiştir
(aktaran Shanker, 1988, s. 155). Yine de, Shanker'in dediği gibi,
Wittgenstein ile Gödel arasında bir dostluk beklenirdi nihayetinde
ikisi de esoterik sonuçlar ortaya çıkarmıştır; Wittgenstein'ın
kendisine “potansiyel bir müttefiği” niçin “harcadığı” belirsizdir.
Wittgenstein,
Hilbert'i eleştirse de, aslında Hilbert'in muazzam programının ancak
bir karikatürü olan “oyun formalisti” gibi davranmıştır; Wittgenstein
için de matematik kâğıt üzerinde anlamsız sembollerle oynanan bir
oyundan başka bir şey değildir. Bundan dolayı, matematikteki ontolojik
ve epistemolojik sorunları inkâr ederek Gödel'i ıskalayan
Wittgenstein'ın matematik felsefesi karşısındaki tutumunun, bir
pozitivistin metafizik karşısındaki tutumuyla aynı olmasına şaşmamalı.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder