1900’de matematikçiler amaçlarına ulaştıklarına
inanıyorlardı. Doğanın yaklaşık bir betimlenişi olarak matematikle yetinmek
zorunda oluşlarına ve birçok şeyin doğanın matematiksel bir tasarımına olan
inancı bile yıkmış olmasına rağmen, matematiğin mantıksal yapısını yeniden
kurmaktan büyük bir zevk duydular. Fakat azametli başarılarının şerefine kadeh
kaldırmayı daha bitirmemişlerdi ki, yeniden kurulmuş matematik içinde
çelişkiler bulundu. Genellikle bu çelişkilere paradoks deniyordu ki, bu kelime,
çelişkilerin matematiğin mantığını bozduğu gerçeğiyle yüzleşmekten kaçınan bir
hüsn’ü tabirdi.
Zamanın önde gelen matematikçileri ve felsefecileri
çelişkilerin çözülmesi işini derhal üstlerine aldılar. Gerçekte her biri birçok
taraftar toplayan dört farklı matematiksel yaklaşım tasarlandı, formüle edildi
ve ileri sürüldü. Bu temel ekollerin hepsi sadece bilinen çelişkileri çözmeye
değil aynı zamanda yeni çelişkilerin ortaya çıkamayacağının garantisini
vermeye, yani matematiğin tutarlılığını tesis etmeye giriştiler. Kurucu
çabalarda başka sorunlar ortaya çıktı. Tümdengelim mantığının bazı aksiyom ve
ilkelerinin kabul edilebilirliği de farklı ekollerin farklı tutumlar takındığı
tartışmanın belkemiği haline geldi.
Çelişkileri matematikten çıkarıp atma girişimi sadece yeni ve
çözümsüz çelişkilere yol açtı. Son darbe de, Kurt Gödel’in 1930’da, klasik
matematiğin temel yöntemlerini bile sorgulayan ve bir krize neden olan ünlü
teoremlerini yayınlamasıyla vuruldu:
1930’a kadar bir matematikçi matematiğin birçok ekolünden
birini veya diğerini kabul etmekle belki yetinebilir ve matematiksel
kanıtlarının en azından o ekolün inanışlarına uygun olduğunu ifade edebilirdi.
Ancak felâket Kurt Gödel’in ünlü eseri biçiminde çıka geldi; bu eser, diğer
önemli ve rahatsızlık verici sonuçlarının yanı sıra, birçok ekol tarafından
kabul edilen mantıksal ilkelerin, matematiğin tutarlılığını ispat edemeyeceğini
kanıtlıyordu. Gödel bunun, mantıksal prensipler ne yapıldığını sorgulayacak
kadar şüpheci bir şekilde işin içine katılmadığı sürece başarılamayacağını
gösterdi. Gödel’in teoremleri bir bozguna sebep oldu. Sonraki gelişmeler daha
büyük karışıklıklara yol açtı. Örneğin geçmişte kesin bilgiye giden yaklaşım
olarak son derece ilgi gören aksiyomcu-tümdengelim yönteminin bile çatladığı
görüldü. Bu yeni gelişmelerin net etkisi, matematiğe bir olası yaklaşımlar
çeşitliliğinin eklenmesi ve matematikçilerin çok daha fazla sayıda farklı
hiziplere bölünmesiydi.[9]
Matematiğin içine düştüğü kördüğüm, hiçbiri diğerinin
teorilerini kabul etmeyen birtakım farklı hizipleri ve ekolleri ortaya çıkardı.
Matematiği mutlak bir doğru (“Tanrı bir matematikçidir”) olarak gören Platoncular
(evet, doğru) vardır. Matematiği kavrayışları Platonculardan bütünüyle farklı
olan, ama bu farklılığın sadece nesnel ve öznel idealizm arasındaki fark kadar
olduğu Kavramcılar vardır. Bunlar, matematiği birtakım insanların kendi
amaçları için icat ettiği bir yapılar, kalıplar ve simetriler serisi olarak
görürler; başka bir deyişle matematik nesnel bir temele sahip değildir, tersine
saf bir şekilde insan aklının ürünüdür! Görünüşe göre Britanya’da popüler olan,
bu teoridir.
Bunlardan başka, 20. yüzyılın başlarında, matematikteki
çelişkileri ortadan kaldırma amacıyla oluşturulan Biçimci ekol var. Bu ekolün
kurucularından biri olan David Hilbert’e göre, matematik, sembollerin kendi
içinde tutarlı bir totolojik ifadeler sistemi üretmek amacıyla belirli kurallara
bağlı olarak işlenmesinden ve aksi takdirde hiçbir anlam taşımayacak olan bir
şeydi. Burada matematik tıpkı satranç gibi entelektüel bir oyuna indirgenir;
yine büsbütün öznel bir yaklaşım. Sezgici ekol de matematiği nesnel
gerçeklikten ayırmayı aynı ölçüde kabul eder. Onlara göre, matematiksel bir
formülün, bizzat hesaplama eyleminden bağımsız herhangi bir şeyi temsil ettiği
söylenemez. Bu yaklaşım, Bohr’un, nesnel gerçeklikten kopuk fiziksel ve
matematiksel nicelikler hakkında yeni görüşler ileri sürmek için kuantum
mekaniğinin keşiflerini kullanma çabasına benzer.
Tüm bu ekollerde ortak olan şey, matematiğe bütünüyle
idealist bir yaklaşımdır. Aralarındaki tek fark, matematiğin Tanrının aklından
kaynaklandığını düşünen yeni-Platoncuların nesnel idealist olması ve geri
kalanların, yani sezgicilerin, biçimcilerin ve kavramcıların, matematiğin
herhangi bir nesnel anlamdan yoksun, insan aklının öznel bir ürünü olduğuna
inanmalarıdır. 20. yüzyılın son on yılında belli başlı matematik ekollerinin
sunduğu acınası manzara budur. Ama hikâye burada bitmiyor.
Kaos ve Karmaşıklık
Son yıllarda, matematiksel modellerin doğanın gerçek
işleyişini ifade etmekteki sınırlılıkları yoğun bir tartışma konusu olmuştur.
Meselâ diferansiyel denklemler gerçekliği bir süreklilik olarak temsil ederler,
bu süreklilik içinde zaman ve mekandaki değişimler muntazaman ve kesintisiz
olarak gerçekleşir. Burada ani kırılmalara ve nitel değişimlere yer yoktur.
Oysa bu değişimler doğada fiilen meydana gelmektedir. 18. yüzyılda diferansiyel
ve integral hesabın keşfedilmesi büyük bir ilerlemeyi ifade ediyordu. Ama en
gelişmiş matematiksel modeller bile gerçekliğe ancak kaba bir yaklaşımdırlar,
ancak belli sınırlar çerçevesinde geçerlidirler. Kaos ve anti-kaos hakkındaki
son tartışma, klasik matematik formülleri tarafından yeterince ifade edilemeyen
süreklilikteki kırılmaları, ani “kaotik” değişimleri içeren bu alanlarda
odaklandı.
Düzen ve kaos arasındaki fark, lineer [doğrusal] ve nonlineer
[doğrusal olmayan] ilişkileri kullanmalarındadır. Lineer bir ilişkinin
matematiksel olarak tanımlanması kolaydır: bir grafik üzerinde düz bir çizgi
olarak şu veya bu biçimde ifade edilebilir. Bu ilişkinin matematiği karmaşık da
olsa, yanıt hesaplanabilir ve önceden söylenebilir. Nonlineer bir ilişki ise matematiksel
olarak kolayca çözülemeyen bir ilişkidir. Onu tanımlayacak hiçbir düz çizgi
grafiği yoktur. Nonlineer ilişkiler tarihsel olarak çözülmesi zor veya imkânsız
olan ilişkiler olmuştur ve deney hatası olarak sık sık görmezlikten
gelinmiştir. James Gleick basit sarkaçla yapılan ünlü deneye atıfta bulunarak,
Galileo’nun gördüğü düzenliliğin yalnızca yaklaşık olduğunu yazar. Kütle
hareketinin değişen açısı, denklemlerde lineerlikten hafif bir sapma yaratır.
Düşük genliklerde, hata neredeyse söz konusu değildir, ama yine de vardır.
Derli toplu sonuçlar elde etmek için, Galileo da sürtünme ve hava direnci
olarak değerlendirdiği nonlineerliği ihmâl etmek zorundaydı.
Klasik mekaniğin büyük bir bölümü, bilimsel yasalar olarak
gerçek hayattan soyutlanan lineer ilişkiler etrafında inşa edilir. Gerçek
dünyanın nonlineer ilişkilerin egemenliğine tâbi olması dolayısıyla, bu yasalar
genellikle, “yeni” yasaların keşfi aracılığıyla sürekli olarak
mükemmelleştirilen yaklaşımlardan daha fazlası değildirler. Bu yasalar, matematiksel
modeller ve kuramsal yapılar olup, meşruiyetleri yalnızca sağladıkları önsezide
ve doğa güçlerinin denetim altına alınmasında kullanılabilir oluşlarında yatar.
Son yirmi yılda bilgisayar teknolojisindeki devrim, nonlineer matematiği
erişilebilir kılarak durumu değiştirdi. Bu sayededir ki, ayrı ayrı fakülte ve
araştırma kurumlarında, matematikçiler ve diğer bilimciler açısından “kaotik”
sistemler için gereken ve geçmişte yapılamayan toplama işlemlerini yapmak
mümkün olmuştur.
James Gleick’ın Kaos, Yeni Bir Bilim Yaratmak
adlı kitabı, kaotik sistemlerin oldukça farklı matematik modeller kullanan
farklı araştırmacılar tarafından incelenmesine rağmen her defasında nasıl olup
da tüm çalışmaların aynı sonuçlara vardığını açıklıyor: önceleri saf “düzensizlik”
olarak düşünülen şeyin içinde bir “düzen” vardır. Hikâye Amerikalı bir
meteorolog olan Edward Lorenz tarafından gerçekleştirilen bir bilgisayar
simülasyonunda hava durumuna ilişkin yapıların incelenmesiyle başlamaktadır.
Nonlineer ilişkilerde önce on iki, sonra sadece üç değişken kullanan Lorenz,
bilgisayarında sürekli olarak değişen ama aynı koşulları tam anlamıyla iki kez
asla tekrarlamayan koşullardan oluşan bir sürekli dizi üretmeyi başarmıştı.
Nispeten basit matematiksel kuralları kullanarak “kaos” yaratmıştı.
Lorenz’in bilgisayarı, onun seçtiği herhangi bir parametreyle
başlayarak, aynı hesapları defalarca ama asla aynı sonucu vermeksizin mekanik
bir biçimde yineledi. Bu “aperiyodiklik” (yani, düzenli döngülerin olmayışı)
bütün kaotik sistemlerin özelliğidir. Aynı zamanda Lorenz, elde ettiği sonuçlar
her defasında farklı olmasına rağmen, en azından sık sık ortaya çıkan “desen”
izlerinin varolduğunu fark etti. Bu durum, şüphesiz, bilgisayar simülasyonlu
havanın tersine herkesin günlük deneyimlerine denk düşer: “desenler” vardır ama
ne herhangi iki gün ne de herhangi iki hafta birbirinin aynıdır.
Diğer bilimciler de, elektronik osilatörün [titreştirici]
matematiksel modellenişinden gezegen yörüngelerinin incelenişine kadar pek çok
farklı kaotik sistemde benzer “desenler” buldular. Gleick bu ve diğer
durumlarda “gelişigüzel görünen davranışın içinde yapı izlerinin” bulunduğunu
kaydeder. Kaotik sistemlerin mutlaka kararsız olması gerekmediği ya da belirsiz
bir dönem boyunca sürebileceği düşüncesi giderek daha da belirginleşti. Jüpiter
gezegeninin yüzeyinde görünen ünlü “kırmızı nokta” kararlı olan sürekli bir
kaotik sistem örneğidir. Dahası bu “kırmızı nokta” bilgisayar çalışmalarında ve
laboratuvar modellerinde simüle edilmiştir. Demek ki, “karmaşık bir sistem aynı
anda hem türbülansa hem de kohezyona yol açabilmektedir.” Bu arada başka
bilimciler de, biyolojide kaotik görünen olguları incelemek için farklı
matematiksel modeller kullandılar. Bu bilimcilerden özellikle bir tanesi,
değişik koşullar altında popülasyonun nasıl değiştiğini gösteren matematiksel
bir çalışma yaptı. Biyologların aşina olduğu standart değişkenler, tıpkı doğada
olduğu gibi, hesap edilen birtakım nonlineer ilişkilerle birlikte kullanıldı.
Bu nonlieerlik durumu, örneğin türün üreme güdüsü, “hayatta kalabilirliği”
şeklinde tanımlanabilecek kendine has bir özelliğine denk düşebilirdi.
Bu sonuçlar, yatay eksenini nonlineer bileşenlerin, düşey
eksenini de popülasyon büyüklüğünün oluşturduğu bir grafik üzerinde gösterildi.
Şu anlaşıldı ki, belli bir parametrenin arttırılmasıyla nonlineerlik önem
kazandıkça, elde edilen popülasyon bir dizi belirgin evrelerden geçiyordu.
Belli bir kritik düzeyin altında, hiçbir canlı popülasyon söz konusu değildi ve
başlangıçtaki popülasyon sayısı ne olursa olsun sonuç yok oluştu. Grafikteki
çizgi sıfır popülasyona denk düşen yatay bir yol izliyordu. Bir sonraki evre,
yükselen bir eğri şeklindeki tek bir çizgi grafiğiyle ifade edilen bir kararlı
durumdu. Bu, başlangıç koşullarına bağlı olan bir düzeyde, kararlı bir
popülasyona denk düşüyordu. Sonraki evrede iki farklı ama sabit popülasyon
vardı; iki kararlı durum. Bu durum grafikte bir dallanma olarak ya da bir
“çatallaşma” olarak görülüyordu. Bu, gerçek popülasyonların iki yıllık bir
döngüde düzenli bir periyodik salınımına denk düşüyordu. Nonlineerlik derecesi
tekrar arttırıldığında çatallaşmalarda hızlı bir artış oluyordu, ilkin dört
kararlı duruma (bu dört yıllık düzenli döngüler anlamına geliyordu) denk düşen
bir hale geliyordu ve bu sonra hızla 8, 16, 32 vs. oluyordu.
Böylece, nonlineer parametrelerin küçük bir değer aralığında,
her türlü pratik amaç bakımından herhangi bir kararlı durum ya da
hissedilebilir bir periyodiklik barındırmayan bir durum gelişmişti: popülasyon
“kaotik” bir hale gelmişti. Dahası, eğer kaotik evre boyunca nonlineerlik daha
da arttırılırsa, 3 ya da 7 yıllık döngülere dayanan bariz kararlı durumların
tekrar ortaya çıktığı ama her iki durumun da nonlineerlik arttıkça ilkinde 6,
12 ve 24 yıllık döngüleri ve ikincisinde de 14, 28 ve 56 yıllık döngüleri ifade
eden daha büyük çatallaşmalara yol açtığı periyotların mevcut olduğu anlaşıldı.
Bu nedenle matematiksel bir kesinlikle, ister tek bir kararlı durum şeklinde
olsun isterse de düzenli, periyodik bir davranış şeklinde, kararlılıktan –her
ölçülebilir amaç bakımından– rastlantısal ya da aperiyodik bir duruma dönüşümü
modellemek mümkündü.
Popülasyon bilimi alanında bu durum, öngörülemez popülasyon
değişimlerinin “kararlı durum normundan” bir sapma olduğuna inanan
teorisyenlerle, kararlı durumun “kaotik normdan” bir sapma olduğunu düşünen
teorisyenler arasındaki tartışmada muhtemel bir çözümü gösteriyor olabilir.
Böylesi farklı yorumlar, farklı araştırmacıların yükselen grafiğin
nonlineerliğin tek bir özel değerine karşılık gelen tek bir düşey “dilimini”
dikkate almalarından dolayı mümkündür. Bu nedenle bir canlı türü kararlı ya da
periyodik bir salınım yapan bir popülasyon normuna sahip olabilirken, diğer bir
tür kaotik bir değişkenlik sergileyebilmektedir. Biyolojideki bu gelişmeler,
Gleick’ın da açıkladığı gibi “kaosun kararlı ve örgütlü” olduğunun diğer bir
göstergesidir. Benzer sonuçlar geniş çeşitlik sergileyen farklı olgularda da
keşfedilmeye başlanmıştır. “Deterministik kaos, New York’taki kızamık salgını
kayıtlarında ve Hudson Bay Şirketinin avcıları tarafından kaydedilen Kanada
vaşağı popülasyonunun 200 yıllık dalgalanmalarında da görülmüştür.” Tüm bu
kaotik süreçlerde, bu özel matematik modelin karakteristik özelliği olarak
“periyodun ikiye katlanması” olgusu görülür.
Mandelbrot Fraktalları
Kaos teorisinin diğer bir öncüsü, IBM’de çalışan bir
matematikçi olan Benoit Mandelbrot, farklı bir matematik tekniği kullandı. IBM
için çalışan bir araştırmacı sıfatıyla, geniş bir çeşitlilik gösteren doğadaki
“rastlantısal” süreçlerdeki “desenleri” araştırdı ve buldu. Örneğin telefon
haberleşmesinde her zaman varolan fon “gürültüsünün” önceden kestirilmesi
bütünüyle imkânsız olan ya da kaotik olan, ama yine de matematiksel olarak
tanımlanabilen bir desen sergilediğini keşfetti. Mandelbrot IBM’deki
bilgisayarları kullanarak, kaotik sistemleri, sadece en basit matematiksel
kurallardan yararlanarak grafiksel olarak üretebilmişti. “Mandelbrot kümeleri”
olarak bilinen bu resimler sonsuz bir karmaşıklık gösteriyordu, bu resimlerin
herhangi bir kısmı daha ince ayrıntıları görmek için “büyütüldüğünde”, sınırsız
olarak görünen muazzam çeşitlilik devam ediyordu.
Mandelbrot kümeleri belki de şimdiye kadar görülen en
karmaşık matematiksel nesne veya model olarak tanımlanmıştı. Yine de kendi
yapısı içerisinde hâlâ desenler mevcuttu. Ölçek defalarca “büyütülerek” daha
ince ayrıntılara bakıldığında (tüm yapı belirli bir matematiksel kurallar
kümesine dayandığından bilgisayarın sayısız defa yapabileceği bir şey) farklı
ölçeklerde düzenli tekrarların –benzerliklerin– varolduğu görülebildi.
“Düzensizliğin derecesi” farklı ölçeklerde aynıydı. Mandelbrot düzensizliğin
içinde besbelli olan desenleri tanımlamak için “fraktal” ifadesini kullandı.
Matematiksel kurallar üzerinde ufak tefek değişiklikler yaparak çeşitli fraktal
şekiller yapmayı başardı. Böylece herhangi bir ölçekte (herhangi bir büyültme
oranında) her zaman aynı dereceden “düzensizliği” veya “kıvrımlaşmayı”
sergileyen bir kıyı şeridini bilgisayarında simüle etmeyi başardı.
Mandelbrot kendi bilgisayar ağırlıklı sistemlerini, farklı
ölçeklerde aynı deseni defalarca yineleyen fraktal biçimli geometri
örnekleriyle de karşılaştırdı. Örneğin Menger Süngerinde, gerçek katı hacmi
sıfıra yaklaşırken, iç yüzey alanı sonsuza gider. Burada, sanki düzensizlik
derecesi süngerin yer kaplamaktaki verimliliğine tekabül etmektedir. Bu
göründüğü kadar cazip olmayabilir, çünkü Mandelbrot’un da gösterdiği gibi
doğada fraktal geometrinin birçok örneği vardır. Nefes borusunun iki bronş
oluşturacak şekilde dallanması ve bu dallanmanın bronşlarda aşağılara doğru
ciğerlerdeki minik hava geçitleri düzeyine kadar yinelenmesi, fraktal olduğu
gösterilebilecek olan bir desen izler. Aynı şekilde kan damarlarının
dallanmasının da fraktal olduğu gösterilebilir. Diğer bir deyişle, hangi
ölçekte incelenirse incelensin yinelenen bir geometrik dallanma deseni, bir
“kendine benzerlik” söz konusudur.
Doğadaki fraktal geometri örnekleri hemen hemen sınırsızdır
ve Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında Mandelbrot tam da bunu
kanıtlamak istemişti. Normal bir kalp atışları spektrumunun, belki de kalp
kaslarındaki sinir liflerinin fraktal düzenlenişinden ötürü, fraktal yasalar
izlediği bulunmuştur. Aynı durum bir şizofreni özelliği olan gözün istem dışı
hızlı hareketleri için de doğrudur. Bu yüzden fraktal matematik, fizyoloji ve
deprem çalışmalarından metalürjiye kadar uzanan disiplinleri içeren çeşitli
bilim alanlarında bugün rutin bir biçimde kullanılmaktadır.
Kaosun deterministik temelinin diğer göstergeleri, faz
geçişleri üzerine çalışmalarda ve matematik modelleyicilerin “çekici” olarak
adlandırdıkları şeyler yardımıyla gösterilmişti. Faz geçişlerinin birçok örneği
vardır. Bu, bir sıvının “laminer” akıştan türbülanslı akışa geçişi anlamına
gelebileceği gibi, katının sıvıya ya da sıvının gaza dönüşümü veya bir sistemin
iletkenlikten “süper iletkenliğe” geçişi anlamına da gelebilir. Bu faz
değişimlerinin teknolojik tasarım ve inşa alanında son derece önemli sonuçları
olabilir. Örneğin bir uçak, kanadı üzerindeki hava akışı laminer akıştan
türbülanslı akışa dönüşürse irtifa kaybedecektir; aynı şekilde suyu pompalamak
için gereken basınç borudaki akışın türbülanslı olup olmamasına bağlı
olacaktır.
Faz-ölçek diyagramları ve çekicilerin kullanımı,
rastlantısal gözüken sistemlerde geniş bir uygulama alanı bulan bir diğer
matematiksel aracı temsil eder. Diğer kaos çalışmalarında olduğu gibi, elektrik
osilatörlerini, akışkan dinamiğini ve hatta küresel yıldız kümelerindeki
yıldızların dağılımını içeren çeşitli araştırma programları alanında da “garip
çekiciler” olarak anılan, ortak desenlerin mevcut olduğu keşfedilmiştir. Bu
çeşitli matematiksel araçların tümü –periyot katlanması, fraktal geometri,
garip çekiciler– kaotik dinamiği inceleyen farklı araştırmacılar tarafından
farklı zamanlarda geliştirildi. Ama hepsinin sonuçları aynı yöne işaret
etmektedir: şimdiye dek rastlantısal olarak düşünülen şeylerin altında
matematiksel bir yasallığın yattığına.
Mitchell Feigenbaum adlı bir matematikçi, birkaç ipucunu bir
araya getirerek kaosun “evrensel teorisi” olarak adlandırdığı teorisini
geliştirdi. Gleick’ın söylediği gibi “teorisinin, düzen ve türbülans arasında
geçiş durumunda olan sistemlere ilişkin doğal bir yasayı ifade ettiğine
inandı... evrenselliği sadece nitel değil, aynı zamanda niceldi de... sadece
desenlere değil kesin sayılara da ulaşmıştı.”
Marksistler, niceliğin niteliğe dönüşümü olarak bilinen
diyalektik yasayla buradaki benzerliği fark edeceklerdir. Bu düşünce, değişimin
ölçülebilir olduğu aşağı yukarı tedrici bir gelişim döneminden, değişimin o
denli “devrimci”, “sıçrama”nın o denli büyük oluşu sayesinde sistemin bütün
“niteliği”nin değiştiği bir sonraki döneme dönüşümünü anlatır. Gleick’ın burada
kavramları benzer bir anlamda kullanışı, modern bilimsel teorinin materyalist
diyalektiğe doğru sendeleyerek de olsa ilerlediğinin bir başka göstergesidir.
Yeni bilimin temel kalkış noktası, onun dünyayla gerçekte
olduğu gibi, yani sürekli olarak değişen dinamik bir sistem olarak
ilgilenmesidir. Klasik lineer matematik, sabit ve değişmez kategorilerle iş
gören biçimsel mantık gibidir. Yaklaşım olarak yeterince sağlamdır ama
gerçekliği yansıtmaz. Ne var ki diyalektik, değişimin ve süreçlerin mantığıdır
ve bu nedenle biçimcilik karşısında büyük bir ilerlemeyi temsil eder.
Aynı şekilde kaos matematiği de, hayatın tatsız düzensizliklerini ihmâl eden,
ziyadesiyle “gerçekdışı” bilimden ileriye doğru atılmış bir adımdır.
Nicelik ve Nitelik
Niceliğin niteliğe dönüşümü düşüncesi, modern matematikteki
süreklilik ve süreksizlik çalışmalarında zımnen kabul edilir. Bu düşünce 20.
yüzyılın başlarında büyük Fransız matematikçi Jules Henri Poincaré (1854-1912)
tarafından bulunan yeni geometri dalında, topolojide zaten ifade edilmişti.
Topoloji sürekliliğin matematiğidir. Ian Stewart’ın açıkladığı gibi:
“Süreklilik düzgün, tedrici değişimlerin incelenişi, devamlılığın bilimidir.
Süreksizlikler ani ve dramatiktir: nedende ufak bir değişim olduğunda sonuçta
muazzam bir değişim ortaya çıkar.”[10]
Standart matematik kitapları dünyanın gerçekte nasıl bir şey
olduğu ve doğanın gerçekte nasıl işlediği hususunda yanlış bir izlenim
verirler. “Bu şekilde gelişen matematik sezgisi,” der Robert May “öğrencilerin,
en basit nonlineer sistemlerden birinin sergilediği garip davranışlarla
uğraşmak için ihtiyaç duyduğu araç ve gereçleri de sağlayamamaktadır.”[11]
İlkokul geometrisi bize kareler, daireler, üçgenler ve paralelkenarlara tamamen
birbirinden farklı şeyler olarak bakmayı öğretirken, topolojide (“lastik-levha
geometrisi”) bunlar aynı şeyler olarak ele alınır. Geleneksel geometri
bir dairenin kareleştirilemeyeceğini öğretirken topolojide durum farklıdır. Katı
sınır çizgileri kırılır: bir kare bir daireye dönüştürülebilir (“deforme
edilebilir”). 20. yüzyıl biliminin gözalıcı ilerlemelerine rağmen, oldukça
basit görünen çok sayıda olgunun, meselâ hava durumunun, sıvı akışının,
türbülansın vb. yeterince anlaşılmadığından ve matematiksel terimlerle ifade
edilemeyeceğinden bahsetmek şaşırtıcıdır. Klasik geometri kalıpları, doğada
bulunan son derece karmaşık ve düzensiz yüzeyleri ifade etmekte yetersiz kalır.
Gleick’ın belirttiği gibi:
Topoloji, şekiller bükülerek, esnetilerek veya gerilerek
deforme edildiğinde değişmeden kalan özellikleri inceler. Bir şeklin kare mi
daire mi, büyük mü küçük mü olduğunun topolojiyle ilgisi yoktur, çünkü uzatma
işlemiyle bu özellikler değişebilir. Topologlar bir şeklin bağlı olup olmadığını,
delikleri olup olmadığını, boğumlu olup olmadığını sorarlar. Yüzeyleri sadece
Eukleides’in bir, iki veya üç boyutlu evreninde değil, göz önüne getirilmesi
imkânsız çok boyutlu uzaylar içinde hayal ederler. Topoloji lastik yüzeyler
üzerinde uygulanan geometridir. Nicel olandan çok nitel olanla ilgilenir.[12]
Diferansiyel denklemler konumdaki değişim hızını ele alır. Bu
ilk bakışta görüldüğünden çok daha karmaşık ve zordur. Birçok diferansiyel
denklem hiç çözülemeyebilir de. Bu denklemler hareketi açıklayabilir, ama bir
noktadan diğerine düzgün bir konum değişimi olarak, yani ani sıçramalar ve
kesintiler olmaması kaydıyla. Ne var ki doğada değişim sırf bu yolla
gerçekleşmez. Yavaş, tedrici ve kesintisiz değişim dönemleri keskin dönüşler,
süreklilikteki kopuşlar, patlamalar ve felâketlerle noktalanırlar. Bu olgu,
organik ve inorganik doğadan, toplum ve insan düşüncesi tarihinden alınacak
sayısız örnekle gösterilebilir. Diferansiyel bir denklemde, zamanın bir dizi
çok küçük “zaman adımı”na bölündüğü farz edilir. Bu yaklaşık bir
gerçeklik sunar, ama aslında böyle “adımlar” mevcut değildir. Herakleitos’un
ifade ettiği gibi, “her şey akar.”
Geleneksel matematiğin, sırf nicel değişimlerin aksine nitel
değişimleri ele alabilmekteki aczi ciddi bir sınırlamayı ifade eder. Belli
sınırlar içerisinde bu matematik yeterli olabilir. Ama tedrici nicel değişimler
aniden kesildiğinde ve, yürürlükteki ifadeyi kullanırsak, “kaotik” hale
geldiğinde, klasik matematiğin lineer denklemlerini kullanmak artık yeterli
olamaz. Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz ve Mitchell Feigenbaum’un ön ayak
olduğu yeni nonlineer matematiğin kalkış noktası işte budur. Onlar farkında
bile olmaksızın Hegel’in adımlarını takip ediyorlardı, Hegel’in düğümlü ölçü
çizgileri de diyalektiğin temeli olan bu aynı düşünceyi ifade eder.
Matematiğe ilişkin bu yeni tutum, mevcut matematik
ekollerinin artık ölme noktasına gelmesi karşısında bir tepki olarak gelişti.
Mandelbrot ilk ilkelerden yola çıkarak ve her şeyi bu ilkelerden türeterek
bütünüyle soyut bir yaklaşımı savunan ve Bourbaki grubu olarak bilinen Fransız
matematiksel Biçimcilik ekolünün bir üyesiydi. Bu grubun üyeleri yaptıkları
işin bilimle veya gerçek dünyayla alâkası olmamasıyla aslında gurur
duyuyorlardı. Ancak bilgisayarın gelişi duruma tümüyle yeni bir unsur kattı.
Tekniğin gelişiminin bilimi nasıl koşullandırdığının bir başka örneğidir bu.
Bir düğmeye basılarak yapılabilen muazzam sayıdaki hesaplamalar, önceleri
yalnızca tesadüfi ve kaotik olguların varolduğu yerler gözüyle bakılan
alanlarda da desenler ve yasaların mevcut bulunduğunu keşfetmeyi mümkün hale
getirdi.
Mandelbrot, radyo iletişimindeki parazit patlamaları, Nil
nehrinin taşması ve borsa krizleri gibi görünüşte tesadüfi gözüken doğal
dünyanın açıklanamayan olgularını araştırarak işe başladı. Geleneksel
matematiğin bu gibi olguları gereğince ele alamayacağını fark etti. Geçen
yüzyılda sonsuzluğu araştıran George Cantor, kendi adıyla anılan bir küme
bulmuştu. Bu küme, toplam uzunluğu sıfır olan, sonsuz sayıda noktaya bölünen
(Cantor “toz”u) bir çizgidir. Böylesi bariz bir çelişki birçok 19. yüzyıl
matematikçisini rahatsız ettiği halde, kaos teorisinde kilit bir rol oynayan
Mandelbrot’un yeni teorisi fraktal matematiğe başlangıç noktası olarak hizmet
etti: “Geometrinin iki bin yıllık geçmişinde” der Gleick, “süreksizlik, gürültü
patlamaları, Cantor tozları gibi olguların yeri olmamıştır. Klasik geometrinin
şekilleri çizgiler ve yüzeyler, daireler ve küreler, üçgenler ve konilerdir.
Bunlar gerçekliğin çok kuvvetli bir soyutlamasını temsil ederler ve Platoncu
uyumun güçlü felsefesine ilham vermişlerdir. Eukleides bunlardan, birçok insan
tarafından bugün bile öğrenilen, iki bin yıldır süren bir geometri ortaya
çıkardı. Aristoteles onlarda ideal bir güzellik bulmuş, Ptolemeci gökbilimciler
bunları esas alıp evren için bir teori kurmuşlardır. Ama karmaşıklığı anlamada
bunların yanlış türden soyutlamalar olduğu ortaya çıkıyor.”[13]
Bilimin tümü, gerçeklik dünyasından belli bir soyutlama
derecesi gerektirir. Uzunluk, derinlik ve kalınlıkla ilgilenen klasik Eukleides
ölçümünün sorunu, gerçek dünyada mevcut bulunan düzensiz şekillerin özünü
yakalamaktaki başarısızlığıdır. Matematik bilimi büyüklüklerin bilimidir. Öklid
geometrisinin soyutlamaları bu nedenle şeylerin nicel yönleri dışındaki her
şeyi bir tarafa iter. Gerçeklik, düzlemlere, doğrulara ve noktalara indirgenir.
Ne var ki, matematiğin soyutlamaları, onlara ilişkin olarak ileri sürülen tüm
abartılı iddialara karşın, düzensiz şekilleriyle ve sürekli ve ani
değişimleriyle gerçek dünyaya yalnızca kaba bir yaklaşıklık olarak kalırlar.
Romalı şair Horace’ın sözleriyle, “doğayı bir tırmıkla kovabilirsiniz, ama o
daima geri gelir.” James Gleick klasik matematikle kaos teorisi arasındaki
farklılığı şu şekilde açıklıyor:
Mandelbrot bulutların küre olmadığını söylemeye bayılır.
Dağlar koni değildir. Yıldırım düz bir çizgide hareket etmez. Yeni geometri,
yuvarlak olmayan, engebeli, düz olmayan, pürüzlü bir evreni yansıtır. Bu
geometri çukurlaşan, kabaran, kırılan, bükülen, düğümlenen ve birbirine dolaşan
şeylerin geometrisidir. Doğanın karmaşıklığının kavranılması, karmaşıklığın
sadece rastlantısal olmadığının, sadece gelişigüzel olmadığının
emarelerini bekledi. Bu, örneğin yıldırımın izlediği yolun ilginç özelliğinin
onun yönü olmadığına, fakat daha çok zikzakların dağılımı olduğuna inanmayı
gerektiriyordu. Mandelbrot’un çalışması dünya hakkında bir iddiada bulunmuştur,
bu iddiaya göre bu tür garip şekiller bir anlam taşırlar. Girintiler ve
düğümler sadece Öklid geometrisindeki klasik şekilleri bozan kusurlar olarak
görülmemelidir. Bunlar çoğu zaman bir olgunun özünün sırrını açmaya yarayan
anahtarlardır.[14]
Bunlar geleneksel matematikçiler tarafından anormal
sapkınlıklar olarak görüldü. Fakat bir diyalektikçiye göre, tıpkı maddenin
sonsuz bölünebilirliğinde olduğu gibi, sonlunun ve sonsuzun birliğinin
matematiksel terimlerle ifade edilebileceğini gösterirler. Sonsuzluk doğada
mevcuttur. Evren sonsuz büyüklüktedir. Madde sonsuz küçük parçaya bölünebilir.
Bu yüzden “evrenin başlangıcı” hakkındaki tüm laflar, “maddenin yapı
taşlarının” ve “nihai parçacığın” araştırılması bütünüyle yanlış
kabullere dayanır. Matematiksel sonsuzun varlığı yalnızca bu gerçeğin bir
yansımasıdır. Aynı zamanda bu sonsuz evrenin sonlu kütlelerden oluşması
diyalektik bir çelişkidir. Böylece sonlu ve sonsuz, karşıtların diyalektik
birliğini oluşturur. Biri diğeri olmadan varolamaz. Bu nedenle sorun evrenin
sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğunda değildir. Hegel’in uzun zaman önce
açıkladığı gibi o hem sonlu hem de sonsuzdur.
Modern bilimdeki ilerlemeler maddeler dünyasının daha
derinlerine nüfuz etmemize olanak verdi. Her aşamada, buna bir “son verme
çağrısı”, sözde aşılmaz bir engel dikme girişimi olmuştur. Fakat her aşamada
şaşırtıcı yeni olgular açığa çıkarılarak sınırlar aşılmıştır. Her yeni ve daha
güçlü parçacık hızlandırıcısı, hep daha küçük zaman ölçeklerinde varlık bulan,
yeni ve daha küçük parçacıkları ortaya çıkarmıştır. Bugün parçacıkların sonu
olarak bilinen kuarklar açısından durumun farklı olduğunu varsaymak için hiçbir
sebep yoktur.
Aynı şekilde, evrenin ve “zamanın” başlangıcını kanıtlama
girişiminin boş bir işe kalkışmak olduğu anlaşılacaktır. Maddi evrenin sınırı
yoktur ve bunun tersini kabul ettirme çabaları kaçınılmaz olarak iflâs edecektir.
Kaos teorisinin yeni matematiğinin en cesaret verici tarafı, kısır
soyutlamalara ve fildişi kulelerinin indirgemeciliğine bir reddiyeyi ve doğaya
ve günlük deneyimler dünyasına doğru bir geri dönüş girişimini temsil
etmesidir. Ve matematik doğayı yansıttığı ölçüde, tek taraflı karakterini
kaybetmeye başlamalı ve gerçek dünyanın dinamik, çelişkili ve tek kelimeyle
diyalektik karakterini ifade eden tamamen yeni bir boyut kazanmalıdır.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder