Evet,
bazı çılgınca şeylerden bahsedeceğim. Genel kanı fikirlerin bazen çok
güçlü olduğudur. Bir kavram, felsefî bir kavram olarak bilgisayar
hakkında bir kuramdan bahsedeceğim.
Hepimiz
biliyoruz ki bilgisayar gerçek dünyada çok kullanışlı bir nesnedir!
Maaşlarımızı öder, öyle değil mi? Fakat insanların çoğu zaman
hatırlamadığı şey, —abartmış olacağım, lakin söyleyeceğim— bilgisayarın
gerçekte matematiğin temelleri ile ilgili felsefî bir sorunu aydınlatmak
için icat edilmiş olduğudur.
Şimdi,
bu fikir saçma gibi görünüyor, ancak bunun doğru tarafları var.
Aslında, bilgisayara, bilgisayar teknolojisine yol açan bir çok fikir
silsilesi vardır. Bu fikirler, matematiksel mantık ile matematiğin
sınırları ve gücü hakkındaki felsefi sorunlardan türemiştir.
Bu
tür sorunlardan ilham alan, oyuncak bir bilgisayarın matematiksel bir
modeli olan Turing makinesini icad etmiş olan bilgisayar öncüsü
Turing’dir. Turing bu makineyi Hilbert’in matematik felsefesi ile ilgili
bir sorusunu çözmeye çalışırken icat etmiştir. Turing, bunu herhangi
gerçek bir bilgisayar henüz icat edilmeden önce yaptı ve sonra da
sahiden bilgisayar yapmaya koyuldu. İngiltere’deki ilk bilgisayarlar
Turing tarafından yapıldı.
Buna
ilaveten, Birleşik Devletlerde bir teknoloji olarak bilgisayarların
icadını, (maalesef savaş çalışmalarının ve atom bombası inşa etme
çalışmalarının bir parçası olarak) üretilmesini teşvik etmede faydalı
olan von Neumann, Turing’in çalışmalarını çok iyi biliyordu. Ben
Turing’i, Turing’in çalışmalarının öneminden bahseden von Neumann’ı
okuyarak öğrendim.
Demek
ki benim bilgisayarların kökeni hakkında söylediklerim tümüyle bir
uydurma değildir. Lâkin bu mevzu entelektüel tarihin unutulmuş bir
parçasıdır. Bu konuşmanın bitiş yargısı ile başlayayım: Bunların çoğu
bir bakıma Hilbert’in çalışmalarından türemiştir. Bu yüzyılın başlarında
çok iyi bilinen bir Alman matematikçi olan Hilbert, matematiğin tümünü,
bütün matematiksel akıl yürütmeleri—sonuç çıkarmaları—
biçimselleştirmeyi önerdi. Ve Hilbert’in bu önerisi çok büyük, görkemli
bir fiyaskodur!
Bir
bakıma, bu büyük bir başarısızlıktır. Çünkü, matematiksel akıl
yürütmenin biçimselleştirilemeyeceği açığa çıkmıştır. Bu, benim bugün
üzerinde konuşacağım, 1931’de Gödel tarafından yapılan çalışmanın meşhur
bir sonucudur.
Fakat
bir başka yönden, Hilbert gerçekten haklıydı, çünkü biçimcilik
(formalizm) bu yüzyılın en büyük başarısı olmuştur. Akıl yürütme veya
mantıksal çıkarım için değil de, programlama ve hesaplamada biçimcilik
son derece başarılı olmuştur. Eğer bu yüzyılın başındaki mantıkçıların
çalışmalarına bakarsanız, onlar akıl yürütme, mantıksal çıkarım ile
matematik yapma ve sembolik mantık için biçimsel diller üzerine
konuşuyorlardı, bununla beraber onlar aynı zamanda programlama
dillerinin ilk versiyonlarından bazılarını da icat etmişlerdi. Dahası bu
programa dilleri, bizim her zaman birlikte yaşadığımız ve beraber
çalıştığımız biçimciliklerdir! Bunlar çok önemli teknolojilerdir.
Böylece,
akıl yürütmek için biçimcilik işlemedi. Matematikçiler biçimsel diller
içinde akıl yürütmezler. Fakat hesaplama, programlama dilleri için
biçimcilik, kökü bu yüzyılın başında Hilbert’e dayanan, matematik ile
ilgili epistemolojik, felsefi soruları açıklamaya çalışan biçimci görüş
içinde bir bakıma doğrudur.
Şimdi size şaşırtıcı bir sonucu olan bu öyküyü anlatıp, entelektüel tarihin bu şaşırtıcı parçasından bahsedeceğim.
Küme Kuramında Kriz
Müsaadenizle yaklaşık bir yüzyıl öncesine gidip, Cantor ile başlayalım...
Georg Cantor
Mesele
şudur: normalde matematiğin statik, değişmeyen, mükemmel, mutlak doğru,
mutlak gerçek vs. olduğunu düşünürsünüz, değil mi? Fizik değişken
olabilir, fakat matematikte nesneler kesindir! Halbuki durumun tam
olarak böyle olmadığı açığa çıktı.
Geçen
yüzyılda matematiğin temelleri, matematiğin nasıl yapılması gerektiği,
neyin doğru olup olmadığı, matematikte geçerli bir ispatın ne olduğu
gibi konular üzerine bir çok uyuşmazlık yaşandı. Bunun üzerine neredeyse
kan akıtılıyordu... İnsanların korkunç kavgaları oldu ve bu öykü akıl
hastanesinde son buldu. Bu, oldukça önemli bir uyuşmazlıktı. Bu
uyuşmazlık çok iyi bilinmiyor, ama bunun entelektüel tarihimizin ilginç
bir parçası olduğunu düşünüyorum.
Bir
çok insan görelilik kuramı hakkındaki uyuşmazlıktan haberdardır.
Einstein başta çok tartışıldı. Ve sonra kuantum mekaniği üzerine olan
uyuşmazlık... Bunlar, yüzyıl fiziğinin iki önemli devrimidir. Fakat daha
az bilinen şey, pür (katıksız) matematikte de müthiş devrimlerin ve
uyuşmazlıkların olduğudur. Bu, gerçekte Cantor ile başladı.
Cantor’un yaptığı şey bir sonsuz kümeler kuramı icat etmekti.
Sonsuz Kümeler
Cantor
bunu yaklaşık yüzyıl önce icat etti; hatta, yüzyıldan biraz daha uzun
bir süre öncedir. Bu kuram çok büyük bir devrim niteliğinde olup, aşırı
derecede maceralı bir iştir. Niçin böyle olduğunu açıklayayım.
Cantor şöyle dedi; 1, 2, 3 ...’u ele alalım.
1, 2, 3, ...
Hepimiz bu sayıları görmüşüzdür, değil mi? Cantor, bu dizinin ardına sonsuz bir sayı eklemeyi teklif etti.
1, 2, 3, ... omega
Cantor,
bu sayıyı da Yunan alfabesindeki küçük omega(w) ile gösterdi. Sonra da,
niye burada duralım, yolumuza devam edip sayı serisini genişletelim
önerisinde bulundu.
1, 2, 3, ... omega, omega+1, omega+2, ...
Omega
artı bir, omega artı iki, sonra sonsuz miktarda bir zaman bu işleme
devam edin. Bundan sonra ne ekleyeceksiniz? Peki, iki omega ? (Aslında,
teknik nedenlerden ötürü omega çarpı ikidir.)
1, 2, 3, ... omega ... 2omega
Sonra iki omega artı bir, iki omega artı iki, iki omega artı üç, iki omega artı dört...
1, 2, 3, ... 2omega, 2omega+1, 2omega+2, 2omega+3, 2omega+4, ...
Sonra, ne gelir? Üç omega, dört omega, beş omega, altı omega, …
1, 2, 3, ... 3omega ... 4omega ... 5omega ... 6omega ...
Peki,
bütün bunlardan sonra ne gelecek? Omega’nın karesi! Ve böylece devam
edin, Omega kare artı bir, omega kare artı altı omega artı sekiz...
Pekala, uzun bir süre bu şekilde devam edin ve omega kareden sonra gelen
ilginç şey? Omega’nın küpü! Ve sonra siz omega’nın dördüncü kuvvetini
sonra beşinci kuvvetini elde edersiniz ve çok sonra?
1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omega3 ... omega4 ... omega5
Omega üzeri omega!
1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omegaomega
Ve çok sonra, omega üzeri omega üzeri omega sonsuz kere!
1, 2, 3, ... omega ... omega2 ... omegaomega ...
Buna genellikle epsilon-sıfır denildiğini zannediyorum.
epsilon0 =
İnsanı hayrete düşürecek hoş bir sayı! Bu noktadan sonra işler biraz zorlaşıyor...
Bu,
Cantor’un asıl hüneri olan sonsuz kümelerin boyutunu ölçmek için
yaptığı ısınma turu niteliğinde harikulade hayali ve üretici bir şeydi
dahası bu, çok aşırı tepkiler aldı. Cantor’un yaptığı şeyi bazıları
sevdi, bazıları ise onun bir akıl hastanesine konulması gerektiğini
düşündü! Gerçekten de bu eleştirilerden sonra Cantor’da sinir bozukluğu
(nevrasteni) başladı. Cantor’un çalışmaları, çok etkili olup nokta-küme
topolojisi ve yirminci yüzyıl matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin
açtı. Fakat çalışmaları, aynı zamanda tartışmalıydı. Bazıları, bunun,
gerçek değil hayali bir dünya olduğunu, ciddi matematikle bir alakası
olmayıp teoloji olduğunu söylediler! Dahası, Cantor asla iyi bir mevki
elde edemedi ve hayatının geri kalanını da ikinci sınıf bir enstitüde
harcadı.
Bertrand Russell’ın Mantıksal Paradoksları
Sonra işler, çocukluk kahramanlarımdan olan Bertrand Russell’dan dolayı daha da kötüleşti.
Bertrand Russell
İngiliz
bir filozof olan Bertrand Russell, güzel ve kendine has denemeler
yazmış ve zannediyorum ki bu harika denemelerden dolayı Nobel edebiyat
ödülünü almıştır. Matematikçi olarak başlayan Bertrand Russell,
yozlaşarak önce filozof sonra hümanist olmuş ve hızlıca baş aşağı
gitmiştir![Gülüşmeler] Neyse, Bertrand Russell, önce Cantor kuramında,
sonra mantığın kendisinde rahatsız edici bir paradoks demeti
keşfetmiştir. Bunlar öyle durumlardır ki, orada akıl yürütmeler doğru
gözükürken aynı zamanda çelişki doğurmuşlardır.
Ve
öyle zannediyorum ki Bertrand Russell, bunun ciddi bir kriz olduğu ve
bu çelişkilerin bir şekilde çözülmesi gerektiği düşüncesinin
yayılmasında çok etkili olmuştur. Russell’ın keşfettiği paradokslar çok
dikkat çekti, asıl garip olan ise, onlardan sadece bir tanesinin Russell
adıyla son bulmasıdır! Bu paradokslardan bir tanesi de Burali-Forti
paradoksu diye adlandırılır. Çünkü Russell bu paradoksu yayınladığında
bir dipnotta, Burali-Forti’nin makalesinden fikir aldığını belirtmişti.
Halbuki, Burali-Forti’nin makalesine bakarsanız öyle bir paradoks
göremezsiniz!
Fakat
öyle zannediyorum ki, bazı şeylerin ciddi şekilde yanlış olduğu
Danimarka’da bazı şeylerin çürümüş olduğu[1], muhakemelerin iflas ettiği
ve bu hususta derhal bir şeyler yapılması gerektiğinin fark edilmesi
temelde Russell’a dayanır. Meksikalı bir matematik tarihçisi olan
Alejandro Garciadiego, Bertrand Russell’ın matematikte bilinenden çok
daha büyük bir rol oynadığını dile getiren bir kitap yazdı: Russell,
sadece kendi adını taşıyan Russell paradoksunu değil, aynı zamanda adını
taşımayan Burali-Forti ve Berry paradokslarını formüle etmede kilit bir
rol oynamıştır. Russell, herkese bu paradoksların önemli olduğunu ve
bunların çocukça kelime-oyunları olmadığını anlatmıştır.
Herneyse,
bu paradokslardan en çok bilineni bugünlerde Russell paradoksu olarak
anılanıdır. Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini
düşünün. Ve sonra şunu sorun, “Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır
yoksa değil midir?”. Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin
elemanı olmamalıdır, ve tersi! Bu paradoks, küçük ve uzak bir kasabada
kendisini tıraş etmeyen adamları tıraş eden bir berberin durumuna
benzer. Paradoks, “Berber kendi
kendini tıraş eder mi?” sorusunu sorana kadar çok mantıklı görünüyor.
Berber, kendi kendini tıraş eder ancak ve ancak kendi kendini tıraş
etmez. Böylece berber, bu kuralı kendine uygulayamaz!
Şöyle
diyebilirsiniz, “Bu berberden kime ne!”. Bu, her halükarda aptalca bir
kuraldır ve her kuralın istisnası vardır! Fakat bir küme ile,
matematiksel bir kavram ile ilgileniyorsanız bu sorunu halletmek o kadar
da kolay değildir. O halde, doğru görünen akıl yürütmeler sizi zora
sokuyorsa öyle kolay omuz silkemezsiniz!
Sırası
gelmişken, Russell paradoksu, aslında antik Yunanlılarca bilinen ve
bazı filozoflar tarafından Epimenides paradoksu olarak anılan bir
paradoksun küme-kuramcı yansımasıdır. Bu, yalancı
paradoksudur: “Bu cümle yanlıştır!” “Şimdi söylediğim şey bir yanlış,
bir yalandır.” Pekala, bu cümlenin kendisi yanlış mı? Eğer yanlış ise,
eğer bir şey yanlış ise, o şeyin doğrulukla bir alakası yoktur. Öyleyse
eğer ben bu cümlenin yanlış olduğunu söylüyorsam bu onun yanlış olmadığı
manasına gelir—bu da onun doğru olduğu manasına gelir. Fakat eğer bu
doğru ise ve ben onun yanlış olduğunu söylüyorsam, o halde onun yanlış
olması gerekir! Gördüğünüz gibi, her halükarda başınız belada!
Sonuçta
tam bir mantıksal doğruluk değeri elde edemezsiniz, her şey takla atar.
O ne doğrudur ne de yanlıştır. Ve siz bunları dikkate almayıp bunların
sadece anlamsız kelime oyunları olduklarını, ciddiyetten yoksun
olduklarını söyleyerek bunları defedebilirsiniz. Oysa Kurt Gödel daha
sonra çalışmalarını bu paradokslara dayayarak çok farklı bir görüş ileri
sürdü.
Gödel,
Bertrand Russell’ın hayret verici bir keşif yaptığını söyler; bizim
mantıksal sezgilerimiz veya matematiksel sezgilerimiz kendi kendileriyle
çelişir, birbiriyle uyuşturulamaz! Gödel, Russell’ın söylediklerinin
büyük bir şaka olduğunu düşünmek yerine Russell’ı çok ciddiye aldı.
Şimdi
David Hilbert’e geçip onun, Cantor’un küme kuramı ve Russell’ın
paradokslarının neden olduğu krizin üstesinden gelecek kurtarma
planından bahsedeceğim.
David Hilbert Biçimsel Aksiyomatik Kuramlarla [Matematiği] Kurtarma Yolunda
Cantor’un
sonsuz kümeler kuramının ateşlendirdiği krize tepkilerden biri
biçimciliğe sığınmak olmuştur. Eğer kusursuz görünen akıl yürütmeler
sonucunda sıkıntıya düşüyorsak, o halde çözüm, sembolik mantığı
kullanmaktır. Yapay bir dil oluşturarak o dilin içinde çok dikkatli
olup, oyunun kuralları neyse onu söyleyerek çelişkilere düşmediğimizden
emin olabiliriz. Çünkü, burada kusursuz görünen bir parça akıl yürütme
var ki bu çelişkilere yol açmaktadır. İşte biz bu sorunun üstesinden
gelmek istiyoruz. Fakat, doğal dil muğlaktır—bir zamirin kime işaret
ettiğini asla bilemezsiniz. Bundan dolayı, gelin bir yapay dil
oluşturalım ve her şeyi çok net kılalım ve bütün çelişkilerinden
kurtulduğumuza emin olalım! Bu biçimcilik düşüncesiydi.
Biçimcilik
Şimdi
ben, Hilbert’in matematikçilerin böyle mükemmel bir yapay dil içinde
çalışmak zorunda olduklarını kastettiğini zannetmiyorum. Bu yapay dil
daha çok bir programlama diline benzeyecektir fakat amaç hesap yapmak
değil; akıl yürütmek, matematik yapmak ve çıkarım yapmaktır. Bu
Hilbert’in düşüncesidir. Fakat Hilbet, düşüncesini hiçbir zaman bu
şekilde ifade etmedi. Çünkü, o zaman programlama dilleri yoktu.
Peki, buradaki düşünceler nelerdir? Her şeyden önce, Hilbert aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı.
Aksiyomatik Yöntem
Bu
şekilde matematik yapma fikri, antik Yunanlılara kadar ve özellikle
güzel ve açık bir matematiksel sistem olan Öklit geometrisine kadar
dayanır. Lâkin, bu yeterli değildir; Hilbert aynı zamanda sembolik
mantığı kullanmamız gerektiğini söylüyordu.
Sembolik Mantık
Sembolik
mantığın da uzun bir geçmişi vardır: Leibniz, Boole, Frege, Peano... Bu
matematikçiler akıl yürütmeyi cebire benzetmek istediler. İşte Leibniz:
Kimin haklı olduğunu tartışma yerine hesaplama ile münakaşadan
kaçınmayı önerdi—ve münakaşadan kastı muhtemelen siyasi ve dini
münakaşalardı-! Kavga yerine masaya oturabilmeli ve “Beyler, buyurun
hesaplayalım..” demelisiniz diyordu. Ne güzel bir düş!...
Dolayısıyla
fikir şudur: matematiksel mantık aritmetik gibi belirsizlik ve yorum
soruları olmaksızın, sonuç içinden çıkarılabilir olmalıdır. Sembolik bir
dil ile yapay bir matematik dili kullanarak kusursuz rigor [titiz,
kesin, kati, katı, sert Ç.N.] bir sonuca ulaşabilmelisiniz. Matematikte
‘rigor’ kelimesinin “rigor mortis”[2] şeklinde kullanıldığını duydunuz
mu? [Gülüşmeler] Buradaki katılık, o katılık değildir. Fakat fikir
şudur; bir önerme ya tamamıyla doğrudur ya da tamamıyla saçmadır,
ikisinin arasında bir şey yoktur. Biçimsel aksiyomatik sistem içerisinde
formüle edilen bir ispat mutlak olarak açık ve tamamıyla pürüzsüz
olmalıdır!
Başka
bir deyişle Hilbert, oyunun kuralları, tanımlar, temel kavramlar,
gramer ve dil—oyunun bütün kuralları—konusunda tamamıyla net olmalıyız
ki matematiğin nasıl yapılacağı üzerinde uzlaşabilelim diyordu.
Pratikte, bu tür bir biçimsel aksiyomatik sistemi kullanmak çok zahmetli
bir iş olacaktır, fakat bu sistem felsefi olarak önemlidir. Çünkü
böylece matematiksel akıl yürütmenin herhangi bir parçasının bütün
sorularının doğruluğu bir defada çözülecektir.
Tamam
mı? Öyleyse Hilbert’in fikri oldukça açıktır. Hilbert sadece
matematikteki aksiyomatik ve biçimci geleneği takip ediyordu. Biçimcilik
içindeki, formül kullanmadaki, hesaplamadaki haliyle biçim! O yolun
tamamını gitmek ve matematiğin tümünü biçimselleştirmek istiyordu; bu
yeterince makul bir plana benziyordu. Hilbert devrimci değil,
muhafazakar biriydi... İşin ilginç tarafı, daha önce belirttiğim gibi;
Hilbert’in kurtarma planının işleyemeyeceği ve başarılamayacağı dahası
bu planı işler kılmanın imkansız olduğu açığa çıktı!
Hilbert,
sadece bütün matematik geleneğini şu noktaya kadar takip ediyordu:
Aksiyomatik metot, sembolik mantık, biçimcilik... Hilbert, tamamen net
olma ile bütünüyle biçimsel bir aksiyomatik sistem oluşturmayı, yapay
bir dil üreterek de paradokslardan kaçınmayı hedefledi. Bunlar
paradoksları imkansız kılacak, paradoksları yasaklayacaktı! Buna ek
olarak, çoğu matematikçi muhtemelen Hilbert’in haklı olduğunu, bunun
elbette yapılabileceğini düşündü—bu ise matematikteki şeylerin mutlak
net olduğu, siyah veya beyaz olduğu, doğru veya yanlış olduğu
düşüncesidir.
Öyleyse
Hilbert’in düşüncesi, matematiğin bütünüyle neyle alakalı olduğuna
ilişkin mutedil düşüncenin uç ve abartılmış bir versiyonudur: Oyunun
kurallarının tümünü bir kez ve tamamıyla belirleyip üzerinde
anlaşabiliriz. Bunun yapılamayacağının açığa çıkması büyük bir
sürprizdir. Hilbert’in yanıldığı açığa çıkmıştır, ama o çok verimli bir
yolda yanılmıştır. Çünkü Hilbert çok güzel bir soru sormuştu. Aslında,
bu soruyu sormakla gerçekten de metamatematik denilen, matematiğin
tümüyle yeni bir alanını kurmuş oluyordu.
Matematiğin
kendi içine döndüğü, kendi kendini araştırdığı bir alan olan
metamatematikte, matematiğin neyi başarabileceğini veya neyi
başaramayacağını araştırırsınız.
Metamatematik nedir?
Bu
benim alanım—metamatematik! Metamatematikte, matematiğe yukarıdan
bakarsınız ve matematiksel akıl yürütmeyi, matematiksel akıl yürütmenin
neyi başarıp başaramayacağını tartışmak için kullanırsınız. Temel
düşünce: à la Hilbert (Hilbert tarzı) matematiği bir kez yapay bir dil
içine gömüp, tümüyle biçimsel bir aksiyomatik sistem kurarak matematiğin
herhangi bir manası olduğunu unutabilirsiniz. O zaman matematiğe,
sadece kağıt üzerine işaretler koyarak oynadığınız aksiyomlardan teorem
çıkarmanıza yarayan bir oyun gözüyle bakabilirsiniz!
Bu
matematiksel akıl yürütme oyununun manasını unutabilirsiniz. O sadece
sembollerle birleştirme oyunudur! Belli kurallar vardır ve siz bu
kuralları çalışıp bu kuralların herhangi bir manası olduğunu
unutabilirsiniz!
Biçimsel bir aksiyomatik sistemi inceleyip yukarıdan, dışarıdan baktığınızda neyi araştırırsınız? Ne tür sorular sorarsınız?
Pekala sorabileceğiniz bir soru şudur: “0 eşittir 1”i ispatlayabilir misiniz?
0=1 ?
Neyse ki yapamazsınız, fakat bundan nasıl emin olacaksınız? Emin olmak zordur!
Ve
herhangi bir A sorusu için, A’nın doğrulanması için, durumun doğru olup
olmadığını, A’yı veya A’nın karşıtını (A’nın değilini) ispatlamanın
mümkün olup olmadığını sorabilirsiniz.
A ? ¬A?
Buna bütünlük denir.
Bütünlük
Herhangi bir A sorusunu, ya onun doğruluğunu (A) ispatlayaraktan ya
da onun yanlışını (¬A) ispatlayaraktan çözebiliyorsanız, böyle bir
biçimsel aksiyomatik sisteme bütün denir. Güzel bir şey olmalı! Başka
ilginç bir soru da şudur: bir önermeyi (A) ispatlayabiliyorsanız ve
bunun tersini (¬A) de ispatlayabiliyorsanız, buna tutarsızlık denir
dahası eğer bu gerçekleşirse, durum çok fena! Tutarlılık, tutarsızlıktan
çok iyidir!
Tutarlılık
Öyleyse
Hilbert’in düşüncesi, matematik içinde konusu matematiğin kendisi olan,
yeni bir alan oluşturmaktı. Fakat bunu, tamamıyla biçimsel bir
aksiyomatik sistem olmadan yapamazsınız. Çünkü herhangi
bir “anlam” matematiksel bir akıl yürütmeye içkin olduğu müddetçe bu
matematiksel akıl yürütme tümüyle öznel olacaktır. Matematik yapmamızın
nedeni elbetteki onun anlamlara sahip olmasıdır, değil mi? Fakat eğer
matematiksel yöntemleri kullanarak matematiği ve matematiğin gücünü
araştırmak istiyorsanız, anlamı “billurlaştırmak” için onu “kurutma”lı,
kesin kurallar ile birlikte onu, yapay bir dil ile baş başa
bırakmalısınız. Gerçekten de bu yapay dil, öyle bir dil olmalı ki
mekanik bir ispat-kontrol algoritmasına sahip olsun.
İspat-Kontrol Algoritması
Hilbert’in
sahip olduğu kilit düşünce, bu mükemmel kurutulmuş veya billurlaşmış
aksiyomatik sistemi bütün matematik için tasavvur etmesiydi. Hilbert’in
düşündüğü bu sistemde kurallar o kadar kati olacaktı ki, eğer herhangi
bir matematikçi bir ispata sahip ise orada mekanik bir hakem, bir
prosedür olacak ve “Bu ispat kurallara uyar” veya “Bu ispat yanlıştır,
kurallara aykırıdır” diyebilecektir. İşte bu, anlama veya öznel
anlamalara bağlı olmayan ve tamamıyla objektif matematiksel gerçekliği
elde etmenin yolu, onu tamamıyla hesaplamaya indirgemektir. Bazıları “Bu
bir ispattır” diye iddia ettikleri makaleyi, doğruluğuna karar vermesi
iki yıl süren beşer bir hakeme sunmak yerine, bir makineye verebilir.
Makine en sonunda; “Bu kurallara uyar” veya “4. satırda bir yazım
yanlışı vardır” veya “3. satırın sonucu olduğu zannedilen 4. satırdaki
şeyler, aslında sonuç değildirler” der. Ayrıca, bu nihai bir karar
olacaktır, temyize gitmek yok!
Ana
fikir, gerçekte matematiğin bu şekilde yapılması gerektiği değildir.
Ben bunun bir iftira ve yanlış bir suçlama olduğunu düşünüyorum.
Hilbert’in gerçekten matematikçileri makinelere dönüştürmek istediğini
zannetmiyorum. Fakat Hilbert’in düşüncesi şöyleydi: Eğer matematiği alır
ve bu şekilde işleyebilirseniz, matematiği matematiğin gücünü
araştırmak için kullanabilirsiniz. Hilbert’in bulduğu bu çözüm önemli ve
yeni bir şeydi. Hilbert, bunu matematiğin geleneksel görüşünü yeniden doğrulamak, kendini haklı çıkarmak için istemekteydi...
Hilbert
bir aksiyomlar kümesine ve bu biçimsel dile sahip olmayı önerdi. Bu
biçimsel sistem, hepimizin üzerinde anlaşabileceği ve bütün matematiksel
akıl yürütmeleri içerecek mükemmel bir sistem olacaktı! Bundan sonra
oyunun bütün kurallarını bileceğiz. Hilbert, bu biçimsel aksiyomatik
sistemin iyi olduğunu—yani tutarlı ve bütün olduğunu— göstermek ve
insanlara bunu kabul ettirmek için sadece metamatematiği kullanmak
istiyordu. Böylece felsefi sorunlar için “Bir ispat ne zaman doğrudur?”
ve “Matematiksel gerçeklik nedir?” soruları bir defada çözümlenecekti.
Bunun gibi, herkes matematiksel bir ispatın doğru olup olmadığı
konusunda anlaşabilecekti. Ve gerçekten de biz bunun objektif bir şey
olduğunu düşünüyorduk.
Başka
bir deyişle, Hilbert yalnızca diyordu ki; eğer matematik gerçekten
nesnel ise ve öznel elemanlar yok ise, matematiksel bir ispat ya doğru
ya da yanlış ise, o durumda orada bunu belirlemek için kesin kurallar
olmalı ve siz bütün detayları doldurduysanız yoruma bağlı olmamalıdır.
Bütün detayları doldurmanız önemlidir—bu matematiksel mantığın
görüşüdür; matematiksel akıl yürütmeleri hayale yer kalmayacak, hiçbir
şey dışarıda kalmayacak şekilde çok
küçük basamaklara “atomize” etme düşüncesi! Eğer hiçbir şey dışarıda
kalmadıysa, bir ispat otomatik olarak kontrol edilebilir. Bu gerçekte
sembolik mantığın ta kendisi ve Hilbert’in düşüncesidir.
Hilbert
gerçekten de bunun yapabileceğine inanıyordu. Böylelikle Hilbert bütün
matematiği biçimselleştirecek ve hepimiz de bu biçimselliğin oyunun
kuralları olduğunu kabul edecektik. O zaman matematiksel gerçekliğin çok
çeşitleri değil yalnızca bir versiyonu olacaktı. Bir Alman
matematiğine, bir Fransız matematiğine, bir İsveç matematiğine ve bir
Amerikan matematiğine sahip olmak istemiyoruz. Hayır, biz evrensel bir
matematik, matematiksel gerçeklik için evrensel bir kriter istiyoruz! O
zaman herhangi bir ülkedeki bir matematikçi tarafından yazılan bir
makale başka ülkelerdeki matematikçiler tarafından anlaşılabilir.
Mantıklı gelmiyor mu?! Neticede, 1931’de Kurt Gödel bunun tamamen
mantıksız olduğunu, asla yapılamayacağını gösterdiği zaman, bunun ne
kadar şok edici olduğunu hayal edebilirsiniz!
Kurt Gödel Eksikliği Keşfeder (1931)
Gödel
bunu Viyana’da yaptı. Fakat öyle zannediyorum ki, Gödel, şimdiki Çek
Cumhuriyetinin Brünn veya Brno şehrinden. O zamanlar Brünn,
Avusturya-Macaristan imparatorluğunun bir parçasıydı. Gödel, daha sonra
Princeton’daki İleri Araştırmalar Enstitüsündeydi. Ben birkaç hafta önce
Gödel’in Princeton’daki mezarını ziyaret ettim. Gödel’in evinin şimdiki
sahibi, beni evini incelerken görünce [Gülüşmeler] polisi aramak
yerine, beni evini ziyaret etmem için davet edecek kadar nazik biri!
Onlar, bazı insanların tarihsel nedenlerden ötürü ilgilendikleri bir
evin içinde olduklarını biliyorlar.
Peki
öyleyse Kurt Gödel ne yaptı? Evet, Gödel matematiğin ne ile alakalı
olduğu hakkındaki bu görüşü aşağı yukarı çürüttü. Gödel, meşhur sonucuna
ulaştı: “Gödel’in eksiklik teoremi”.
Eksiklik
Gödel’in
ulaştığı sonucu, Gödel’in orijinal yoluyla açıklayan sevimli bir kitap
var. Gödel’in İspatı diye adlandırılan bu kitap, Nagel ve Newman
tarafından yazılmıştır. Bu kitabı çocukken okumuştum, kırk yıl geçti
kitap hâlâ satılmakta!
Gödel’in
bu şaşırtıcı sonucu nedir? Gödel’in umulmadık keşfi, Hilbert’in
yanıldığı, biçimciliğin yapılamayacağıdır. Yani, içinde bir şeyin doğru
olup olmadığını duru ve açık kılacak, bütün matematiksel gerçekliği
kapsayacak, bir kurallar kümesi üzerine anlaşıp matematiğin tümü için
biçimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol yoktur!
Daha
net bir ifadeyle, Gödel’in keşfettiği şey şuydu; sadece temel aritmetik
ile, 0, 1, 2, 3, 4... ile ve toplama ve çarpma ile ilgilenin – bu
“temel sayı kuramı” veya “aritmetik”tir— ve bunun için sadece bir
aksiyomlar kümesini elde etmeye çalışın —bildik aksiyomlar Peano
aritmetik diye adlandırılır—, bu durumda bile başaramazsınız! Toplama,
çarpma, ve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… hakkındaki bütün gerçeği ve
sadece gerçeği elde etmeye çalışan herhangi bir aksiyomlar kümesi eksik
olmaya mahkumdur. Daha net bir ifadeyle, bu aksiyomatik sistem ya
tutarsız olacak veya eksik olacaktır. Dolayısıyla, eğer siz bir
aksiyomatik sistemin yalnızca doğruyu söylediğini kabul ederseniz, o
zaman bu sistem size bütün doğruları söylemeyecektir. Toplama, çarpma ve
0, 1, 2, 3, 4… hakkındaki bütün doğruları elde etmenin hiç bir yolu
yoktur! Özelde, eğer aksiyomların sizin yanlış teoremler ispatlamanıza
izin vermediğini kabul ederseniz, bu durumda aksiyomatik sistem eksik
olacaktır yani bu aksiyomlardan çıkan fakat ispatlayamayacağınız doğru
teoremler olacaktır!
Bu
kesinlikle harap edici bir sonuçtur ve bütün matematik felsefesi
geleneği yere serilmiştir! Bu sonuç o zaman kesinlikle yıkıcı olarak
düşünüldü. Fakat, belki siz 1931’de, hakkında endişelenilecek başka
birkaç problemin olduğuna dikkat ettiniz. Avrupa’nın içinde bulunduğu
durum kötüydü. Önemli bir ekonomik kriz vardı ve bir savaş
tertipleniyordu. Bütün problemlerin matematiksel olmadığına katılıyorum!
Yaşamda epistemolojiden çok daha başka şeyler de vardır! Fakat, merak
etmeye başladınız. Pekala, eğer matematiğin geleneksel görüşü doğru
değilse, o zaman doğru olan ne? Gödel’in eksiklik teoremi şaşırtıcıydı
ve aynı zamanda korkunç bir şoktu.
Gödel
bunu nasıl başardı? Evet, Gödel’in ispatı çok zekicedir. Nerdeyse
çılgınca bir şeye benzeyen ispat, oldukça paradoksaldır. Gödel yalancı
paradoksu ile başlar (“Ben yanlışım!”) ki bu ne doğru ne de yanlıştır.
“Bu cümle yanlıştır!”
Dahası, Gödel’in yaptığı şey kendi kendine “Ben ispatlanamam!” diyen bir cümle üretmektir.
“Bu cümle ispatlanamaz!”
Eğer
siz temel sayı kuramında, aritmetikte, böyle bir cümle yazabilirseniz-
ispatlanamaz olduğunu ifade eden matematiksel bir cümleyi nasıl
yaparsınız bilmiyorum, bunu yapabilmeniz için çok zeki olmanız gerekir
-fakat eğer bunu başarabilirseniz, bir çıkmazda olduğunuzu görmek
kolaydır. Sadece üzerinde biraz düşünün. Başınızın belâda olduğunu
görmeniz kolaydır. Çünkü eğer ispatlanabilirse, cümle yanlıştır, değil
mi? O halde siz çıkmazdasınız, siz yanlış sonuçları ispatlamaktasınız.
Dahası eğer cümle ispatlanamazsa ve ispatlanamaz olduğunu söylüyorsa, bu
durumda o cümle doğrudur, ve matematik eksiktir (tamamlanamazdır).
Dolayısıyla her halükarda başınız beladadır! Hem de büyük bir belada!
Gödel’in
orijinal ispatı çok çok zekicedir ve anlaşılması güçtür. İçinde yığınla
karmaşık teknik detay vardır. Fakat eğer onun orijinal makalesine
bakarsanız, bana öyle geliyor ki, içinde çok sayıda LISP[3]
programlaması var veya en azından LISP programlamasına bayağı benzeyen
bir şeyler var. Neyse, şimdi biz onu LISP programlaması diye
adlandıracağız. Gödel’in ispatı çok fazla sayıda yinelenen fonksiyon
içerir ve bu fonksiyonlar listelerle ilgilenen fonksiyonlardır ki bunlar
LISP’in tam olarak ne olduğudur. O halde, 1931’de programlama dilleri
olmasa bile, olayın gerçekleşmesinden programlama dilinin önemini
kavramanın etkisiyle Gödel’in orijinal makalesinde açıkça bir
programlama dili görürüz. Ve bu programlama diline bildiğim en yakın
programlama dili LISP’dir, katıksız LISP’dir, yeterince ilginç olarak
yan etkileri olmayan LISP’dir. Ki bu LISP’in kalbidir.
Neticede, bu çok çok etkileyici bir sonuçtu ve insanlar gerçekte bunun ne anlama geldiğini bilmiyorlardı.
Şimdi ileriye dönük ikinci önemli adım Alan Turing tarafından yalnızca beş yıl sonra, 1936’da meydana geliyordu.
Alan Turing Hesaplanamazlığı keşfeder (1936)
Turing’in
bütün bu sorunlara yaklaşımı Gödel’inkinden tamamen farklı ve daha
derindir; çünkü Turing onu klozetten çıkarmıştır! [Gülüşmeler] Onun
klozetten çıkardığı şey bilgisayardı! Bilgisayar Gödel’in makalesinde
zımnidir. Fakat gerçekte bu, sıradan bir faniye görünür değildir, sadece
o zaman değil, ancak ehemmiyetini fark ettikten sonra geriye dönük
bakışlarla görülebilir. Dahası Turing gerçekte onu açığa çıkarmıştır.
Hilbert
bir ispatın kurallara uygun olup olmadığına karar verecek “mekanik bir
prosedür” olması gerektiğinden bahsetmişti. Ancak Hilbert mekanik bir
prosedür ile ne kastettiğini hiçbir zaman netleştirmedi, bu tez
kelimelerle sınırlı kaldı. Fakat Turing aslında kastedilen şeyin bir
makine olduğunu söyledi, ve bir çeşit makine ki biz şimdi buna bir
Turing makinesi diyoruz—fakat Turing’in orijinal makalesinde bu şekilde
adlandırılmamaktaydı. Doğrusu, Turing’in makalesi, aynen Gödel&rs
Bu sinav Albert Einstein tarafindan hazirlanmistir. Bu testi dünyadaki
insanlarin %2'sinin geçmeyi basarabilecegini söylemis. Sizde %2'ye
girmek ister misiniz?
